Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Use o método de Newton para aproximar o número dado com precisão de oito casas decimais.

100 100

Passo 1

Para aproximar 100 100 vamos manipular um pouco para achar a função:

x = 100 100 → x 100 = 100 → f x = x 100 - 100

Passo 2

Pronto, temos a nossa função, vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 3

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, o da função constante e do polinômio:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = x 100 - 100 ' = 100 x 100 - 1 - 0 = 100 x 99

Passo 4

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - x n 100 - 100 100 x n 99

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , vamos usar x 1 = 1,05 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 100 - 100 100 x 1 99 = 1,05 - 1,05 100 - 100 100 . 1,05 99 ≈ 1,04748471

Como queremos uma precisão de oito casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 100 - 100 100 x 2 99 = 1,04748471 - 1,04748471 100 - 100 100 . 1,04748471 99 ≈ 1,04713448

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 100 - 100 100 x 3 99 = 1,04713448 - 1,04713448 100 - 100 100 . 1,04713448 99 ≈ 1,04712855

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x 4 100 - 100 100 x 4 99 = 1,04712855 - 1,04712855 100 - 100 100 . 1,04712855 99 ≈ 1,04712855

Pronto, o valor não varia mais, então temos que 100 100 ≈ 1,04712855 .

Resposta

100 100 ≈ 1,04712855

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a diferencial. y = x x + 1
Calcule a diferencial. y = x 2 - 2 x
Seja V = 4 3 π r 3 . r > 0 .a) Calcule a diferencial.b) Interprete geometricamente d V .(Lembre-se que V é o volume da esfera de raio r e que 4 π r 2 é a área da superfície esfé...
Nos exercícios de 25 a 30, x e y são funções de uma terceira variável. Calcule d y d x , encontrando o diferencial termo a termo (veja o Exemplo 3). 3 t g 2 x + 4 sec 2 ⁡ y = 1
Nos exercícios de 25 a 30, x e y são funções de uma terceira variável. Calcule d y d x , encontrando o diferencial termo a termo (veja o Exemplo 3). 2 x 2 y - 3 x y 3 + 6 y 2 = 1
Nos exercícios de 17 a 24, ache d y . y = t g 2 x sec 2 ⁡ x
Nos exercícios de 25 a 30, x e y são funções de uma terceira variável. Calcule d y d x , encontrando o diferencial termo a termo (veja o Exemplo 3). 8 x 2 - y 2 = 32
Nos exercícios de 17 a 24, ache d y . y = x 2 s e n 1 x - x c o s 1 x
Ache d y para: y = 3 x x 2 + 2
y = x ;       x = 4       e       Δ x = 3 Encontre d y e Δ y para os valores indicados de x e Δ x .Faça um esboço do gráfico e indique os segmentos de reta cujos comprimentos são ...
Sendo y = 3 x 2 - x ache a) Δ y ; b) d y ; c) Δ y - d y .
Sendo y = 6 - 3 x - 2 x 2 ache a) Δ y ; b) d y ; c) Δ y - d y .