Enunciado

Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes.

y ' ' + 9 y ' = x e - x c o s ⁡ ( π x )

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea y h ( x ) e a parte particular y p ( x ) :

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Passo 2

Com isso, a equação diferencial homogênea associada é:

y ' ' + 9 y ' = 0

E a equação característica associada é:

k 2 + 9 k = 0

A solução é:

k k + 9 = 0 ∴ k 1 = 0 ,   k 2 = - 9

Temos duas raízes reais e diferentes, e a solução é:

y x = c 1 e - 9 x + c 2

Agora vamos encontrar a solução particular.

Passo 3

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função G x é G x = x e - x c o s ⁡ ( π x ) , e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser a multiplicação de uma função ( A x + B ) e - x com uma combinação de seno e cosseno:

y p x = A x + B e - x s e n π x + ( C x + D ) e - x c o s ⁡ ( π x )

Passo 4

E a solução tentativa vai ser:

y p = A x + B e - x s e n π x + C x + D e - x cos ⁡ π x

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y p x = A x + B e - x s e n π x + ( C x + D ) e - x c o s ⁡ ( π x )

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