Enunciado

Escrever uma equação vetorial para superfície dada e determinar as equações do plano tangente e da reta normal, nos pontos indicados:

x 2 + y 2 = 4 ; P 0 2 , 2 , 2 ; P 1 0,2 , 2

Passo 1

Olá amiguinhos, primeiro passo que nos é pedido é determinar a equação vetorial da superfície. Podemos resolver esse passo fazendo a parametrização da nossa função e escrevendo que é nosso r → ( u , v ) . Veremos melhor no Passo 2.

Agora se temos o nosso vetor r → ( u , v ) que determina a posição de cada ponto em nossa superfície, então fazendo ∂ r → / ∂ u   = d ( r → u , v 0 ) / d u temos o vetor tangente na direção u e consequentemente ∂ r → / ∂ v   = d ( r → u 0 , v ) / d v o vetor tangente na direção v . Logo esses dois vetores são os vetores que determinam nosso plano tangente, onde para formar um plano, precisamos sempre de um ponto e dois vetores linearmente independente.

x , y , z = P + λ v → + γ u →

Para determinamos a reta normal, precisamos apenas de um ponto e um vetor. O ponto já nos é dado, mas o vetor, a → , podemos determinar fazendo a seguinte relação

a → = ∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v

Passo 2

Vamos começar lembrando a parametrização do nosso cilindro. Vamos fazer

x = R cos ⁡ u

y = R   s e n   u

z = v

Com R = 2 , 0 ≤ u ≤ 2 π , - ∞ ≤ v ≤ ∞

Então

r u , v = ( 2 cos ⁡ u ,   2 sen ⁡ u ,   v )

Pronto terminamos o primeiro passo xD.

Passo 3

Agora queremos calcular o plano tangente, então primeiro

∂ r ∂ u = ( - 2   s e n   u ,   2 cos ⁡ u ,   0 )

e

∂ r ∂ v = ( 0,0 , 1 )

Neste ponto o livro pode mostrar formar e formas para resolver nosso problema, mas uma forma simples será escrevemos a equação geral do plano para os pontos dados da seguinte forma

x , y , z = x 0 , y 0 , z 0   + λ u 1 , u 2 , u 3 + γ ( v 1 , v 2 , v 3 )

Assim temos para P 0 2 , 2 , 2 → u = π / 4 e v = 2 implicando nos vetores ( - 2 , 2 , 0 ) e 0,0 , 1

x , y , z = 2 , 2 , 2 + λ - 2 , 2 , 0 + γ ( 0,0 , 1 )

Que nos da

x + y - 2 2 = 0

Para P 1 0,2 , 2 → u = π / 2 e v = 2 implicando nos vetores ( - 2,0 , 0 ) e 0,0 , 1

x , y , z = 0,2 , 2 + λ - 2,0 , 0 + γ ( 0,0 , 1 )

Que nos da

y - 2 = 0

Passo 4

Por fim queremos a reta tangente, então fazemos

∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v = d e t i ^ j ^ k ^ - 2   s e n   u 2 cos ⁡ u 0 0 0 1 = ( 2 cos ⁡ u , 2   s e n   u , 0 )

Assim para o ponto P 0 2 , 2 , 2 Teremos

r → T 1 = 2 , 2 , 2 + t 2 , 2 , 0 = ( 2 + t 2 , 2 + t 2 , 2 )

E no ponto ( 0,2 , 2 )

r → T 2 = 0,2 , 2 + t 0,2 , 0 = 0,2 + 2 t , 2

Resposta

As respostas seguem no decorrer do processo, já que não temos respostas “diretas” em si.

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