Enunciado

Determinar a equação do plano tangente à superfície S dada, no ponto indicado:

r → u , v = u cos ⁡ v ,   u   s e n   v ,   - 2 u 2 ; P 1,1 , - 4

Passo 1

Olá amiguinhos, quando temos nossa equação parametrizada r → u , v que determina a posição de cada ponto em nossa superfície, temos que ∂ r → / ∂ u   = d ( r → u , v 0 ) / d u é o vetor tangente na direção u e consequentemente ∂ r → / ∂ v   = d ( r → u 0 , v ) / d v o vetor tangente na direção v . Logo esses dois vetores são os vetores que determinam nosso plano tangente, onde para formar um plano, precisamos lembrar que sempre precisamos de um ponto e dois vetores linearmente independente.

x , y , z = P + λ V 1 → + γ V 2 →

Passo 2

Queremos calcular o plano tangente, então primeiro

∂ r ∂ u = ( cos ⁡ v ,   s e n   v ,   - 4 u )

e

∂ r ∂ v = ( - u   s e n   v ,   u cos ⁡ v ,   0 )

Assim vamos tomar que ∂ r ∂ u = u 1 , u 2 , u 3 e ∂ r ∂ v = v 1 , v 2 , v 3

x , y , z = x 0 , y 0 , z 0   + λ u 1 , u 2 , u 3 + γ ( v 1 , v 2 , v 3 )

Assim temos para P 0 1,1 , - 4

x = u cos ⁡ v = 1

y = u   s e n   v = 1

z =   - 2 u 2 = - 4

Assim temos u = 2 e v = π / 4 implicando nos vetores ( 2 / 2 , 2 / 2   , - 4 2 ) e - 1 , , 1,0

x , y , z = 1,1 , - 4 + λ 2 / 2 , 2 / 2   , - 4 2 + γ ( - 1,1 , 0 )

Que nos da

x = 1 + 2 2 λ - γ ; y = 1 + 2 2 λ + γ ; z = - 4 - 4 2 λ

E nos resumimos a

4 x + 4 y + z - 4 = 0

Resposta

4 x + 4 y + z - 4 = 0

.

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