Enunciado

40- Esfriamento de uma torta Uma torta de maçã, cuja temperatura interna era de 220ºF ao ser retirada do forno, foi colocada em uma varanda em que a temperatura era de 40ºF para esfriar. Quinze minutos depois, a temperatura interna da torta era de 180ºF. Quanto tempo levou para a temperatura diminuir de 180ºF para 70ºF?

Passo 1

A lei do resfriamento de Newton pode ser escrita da seguinte forma:

T a t u a l - T a m b i e n t e = T 0 - T a m b i e n t e e - k t  

Onde k é uma constante de resfriamento do material e t é o tempo em horas

Na situação inicial temos os seguintes dados:

T a m b i e n t e = 40

T 0 = 220

T a t u a l = 180

t = 15   m i n = 1 4 h o r a

Na próxima situação nós teremos:

T a m b i e n t e = 40

T a t u a l = 70

T 0 = 180

Passo 2

Como 15 minutos representa 1 / 4 de hora logo temos na primeira situação:

180 - 40 = 220 - 40 e - k 4

14 0 = 180 e - k 4

Tirando l n nos dois lados temos:

ln ⁡ 140 = ln ⁡ 180 × e - k 4

Como log a ⁡ b c = log a ⁡ b + log a ⁡ c , nós temos:

ln ⁡ 140 = ln ⁡ 180 + ln ⁡ e - k 4

O que nos dá:

ln ⁡ 140 - ln ⁡ 180 = - k 4

Uma vez que log a ⁡ a n = n

ln ⁡ 140 180 = - k 4

- 4 ln ⁡ 7 9 = k

k = 4 ln ⁡ 9 7

Passo 3

Como encontramos um valor para k agora precisamos saber o tempo de resfriamento de 180 F para 70 F.

Temos agora a seguinte equação:

70 - 40 = 180 - 40 e - 4 ln ⁡ 9 7 t

Como e ln ⁡ x = x e x l n y = ln ⁡ y x nós teremos:

30 = 140 × ln ⁡ 9 7 - 4 t

ln ⁡ 3 14 = - 4 t ln ⁡ 9 7

Isolando t nós teremos:

t = ln ⁡ 3 14 - 4 ln ⁡ 9 7

Fazendo a conta encontramos:

t ≈ 1.53   h o r a s

O que multiplicando por 60 nós encontramos:

t = 92   m i n

Resposta

92   m i n

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