Enunciado

Nos Exercícios 35-38, resolva o problema de valor inicial.

37-

x   d y - y + y d x = 0 ,   y 1 = 1

Passo 1

Passando a parcela que multiplica d x pro outro lado temos:

x d y = y + y d x

Agora colocando x com x e y com y temos:

d y y + y = d x x

Passo 2

Fazendo a integral nos dois lados nós temos:

∫ d y y + y = ∫ d x x

A segunda integral, que é a que está em relação a x é famosa e vale l n ⁡ ( x ) agora a primeira a que está em relação a y precisamos aplicar a seguinte substituição.

y = u

d y 2 y = d u

Só que como u = y , logo:

d y 2 u = d u

d y = 2 u d u

Como u = y logo u 2 = y , então substituindo todas essas dicas nós temos:

∫ 2 u   d u u 2 + u = 2 ∫ 1 u + 1 d u

Poderíamos aplicar outra substituição dizendo que v = u + 1 para achar que d u = d v e ficar com a seguinte integral.

2 ∫ 1 v d v = ln ⁡ v

Nunca esqueça das constantes!

Voltando para u :

2 l n ⁡ ( u + 1 )

Agora voltando para y .

2 l n ⁡ ( y + 1 )

Logo nossa integral fica:

∫ d y y + y = ∫ d x x

2 ln ⁡ y + 1 = ln ⁡ x + c

Passo 3

Nossa condição inicial diz que y = 1 para x = 1 . Substituindo esses parâmetros na expressão que acabamos de encontrar temos:

2 ln ⁡ 1 + 1 = ln ⁡ 1 + c

c = 2 ln ⁡ 2 = ln ⁡ 4

Substituindo esse valor na expressão nós temos:

2 ln ⁡ y + 1 = ln ⁡ x + ln ⁡ 4

Como temos a propriedade logarítmica que nos diz que log a ⁡ b + log a ⁡ c = log a ⁡ b c podemos juntar a segunda parcela da expressão:

ln ⁡ y + 1 = 1 2 ln ⁡ 4 x

Que nos dá :

y + 1 = 4 x

y = 2 x - 1

y = 2 x - 1 2

Resposta

y = 2 x - 1 2

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