Enunciado

Estabeleça o limite usando a Definição 2.1.1; isto é, para qualquer ϵ >   0 , ache um   δ >   0 tal que se 0 < x - a < δ   , então f ( x ) - L < ϵ

lim x → 1 3 ⁡ 1 - 9 x 2 1 - 3 x = 2

Passo 1

A exigência da Definição 2.1.1 é a de que 1 - 9 x 2 1 - 3 x seja definida para qualquer número de algum intervalo aberto que contenha 1 3 , mas não necessariamente definida para quando x = 1 3 . O polinômio 1 - 9 x 2 1 - 3 x definido para todos os números reais exceto para 1 3 mas como independe do valor para qual o limite tende então podemos usar qualquer intervalo aberto que contenha 1 3 . Assim agora vamos aplicar a Definição 2.1.1.

Se 0 < x - 1 3 < δ   , então 1 - 9 x 2 1 - 3 x - 2 < ϵ

Se 0 < x - 1 3 < δ   , então 1 - 3 x 1 + 3 x 1 - 3 x - 2 < ϵ

Se 0 < x - 1 3 < δ   , então 1 + 3 x - 2 < ϵ

Se 0 < x - 1 3 < δ   , então 3 x - 1 < ϵ

Passo 2

Agora vamos fazer algumas manipulações na seguinte desigualdade 3 x - 1 < ϵ . Vamos por o número 3 em evidência e depois dividir toda a expressão por 3.

3 x - 1 3 < ϵ

3 x - 1 3 < ϵ ∙ 1 3

x - 1 3 < 1 3 ϵ

Se x - 1 3 < 1 3 ϵ equivale a 3 x - 1 < ϵ , então podemos dizer que

Se 0 < x - 1 3 < δ   , então x - 1 3 < 1 3 ϵ

Passo 3

Agora nossa afirmativa indica que 1 3 ϵ é um δ satisfatório. Tendo essa escolha de δ e manipulando a expressão multiplicando-a por 3 temos o seguinte argumento:

0 < x - 1 3 < δ

0 < x - 1 3 < δ ∙ 3

0 < 3 x - 1 3 < 3 δ

0 < 3 x - 1 < 3 δ

0 < 3 x - 1 < ϵ , pois 1 3 ϵ =   δ

Como podemos estabelecer 1 3 ϵ =   δ , a afirmativa da Definição 2.1.1 é verdadeira e isso prova que lim x → 1 3 ⁡ 1 - 9 x 2 1 - 3 x = 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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