Enunciado

Encontre os limites quando x → ± ∞ . Use essa informação, bem como as interseções com os eixos, para fazer um esboço do gráfico.

y = x 3 ⋅ x + 2 2 ⋅ ( x - 1 )

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Vem comigoo!

O enunciado aqui nos deu uma função   y e pede para encontrarmos o limites quando x → ± ∞ e depois vamos determinar o gráfico da função também a partir das interseções com o eixo, olha só como faremos isso!

Primeiro, calcularemos as interseções com os eixos.

As interseções no eixo y podem ser calculadas substituindo x por 0 , ou seja, f ( 0 ) , e nesse caso.

f 0 = 0 3 ⋅ 0 + 2 2 ⋅ 0 - 1 = 0

As interseções no eixo x são encontradas pelas raízes da equação, ou seja, f x = 0  

y = x 3 ⋅ x + 2 2 ⋅ x - 1 = 0

para isso utilizamos o princípio da multiplicação por 0 , daí, as raízes são:

x = 0

  x = - 2  

x = 1 .

Passo 2

Podemos determinar o sinal de cada fator dependendo se o expoente é ímpar ou par. Se o expoente for par, então o resultado é sempre positivo. Caso contrário, você também deve observar o sinal à frente de cada fator e levar em consideração se o valor de x se aproxima de - ∞ ou .

Agora calcularemos os limites

lim x → ∞ ⁡ x 3 ⋅ x + 2 2 ⋅ ( x - 1 )

E

lim x → - ∞ ⁡ x 3 ⋅ x + 2 2 ⋅ ( x - 1 )

Calculando o primeiro limite

lim x → ∞  ⁡ x 3 ⋅ x + 2 2 ⋅ x - 1

= lim x → ∞ ⁡ x 3 ⋅ lim x → ∞ ⁡ x + 2 2 ⋅ lim x → ∞ ⁡ x - 1

= ∞

Passo 3

E agora o segundo, analogamente ao primeiro

lim x → - ∞  ⁡ x 3 ⋅ x + 2 2 ⋅ x - 1

= ( - ∞ ) ( ∞ ) ( - ∞ )

= ∞

Note que lim x → - ∞ ⁡ x + 2 2 = ∞

Passo 4

Agora, podemos esboçar o gráfico com as informações que de limite e interseção que já temos!

A função intersecta o eixo y em y = 0 e o eixo x = 0 , x = - 2 e x = 1 .

A função sobre para + ∞ quando x vai para + ∞ e desce para - ∞ quando x vai para - ∞ .

E com o auxilio do GeoGebra, chegamos ao seguinte gráfico!!

Resposta

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