Enunciado

Prove que se f x = g x para todos os valores de x , exceto x = a , então se lim x → a ⁡ g x não existir, o lim x → a ⁡ f x também não existirá. (Sugestão: mostre que a hipótese de que lim x → a ⁡ f x exista nos levará a uma contradição.)

Passo 1

Como queremos provar que se lim x → a ⁡ g x não existir, o lim x → a ⁡ f x também não existirá, o que também nos diz que se provado essa afirmação então a seguinte afirmação ocorre se lim x → a ⁡ g x existir, o lim x → a ⁡ f x também existirá, pois se uma ocorre a outra também ocorre uma vez que se uma das afirmações não existir e a outra sim teremos uma contradição. Assim não podemos dizer por exemplo que lim x → a ⁡ f x não existe e lim x → a ⁡ g x existe já que vai tanto em contradição com a nossa tese como com a antítese. Por fim vamos provar que a antítese da hipótese ocorre consequentemente a hipótese.

Passo 2

Aplicando a Definição 2.1.1 para f x temos que

Se 0 < x - a < δ   , então f x   - L < ϵ

Como f x = g x e a Definição 2.1.1 nos diz que independente se a função está definida para quando x = a   podemos encontrar o limite, então basta aplicar a igualdade na expressão e temos

Se 0 < x - a < δ   , então g x   - L < ϵ

Passo 3

Assim se lim x → a ⁡ f x = L também teremos lim x → a ⁡ g x = L e portanto lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ g x , isto é se provado a existência desses limites, para isso basta provar existência do limite de uma das funções e a outra será provada por consequência. Como não tem como prova a existência de somente uma das funções, também não tem como provar que não existe o limite de uma das partes. Por fim podemos provar que se lim x → a ⁡ g x não existir, o lim x → a ⁡ f x também não existirá é uma afirmação verdadeira.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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31-36. Use a Definição 1.4.1 para provar que o limite dado está correto. Em casa caso, para mostrar que lim x → a ⁡ f x = L , fatore f x - L como: f x - L = " a l g u m ac o i s a " . x - a E, então,
28. Considere a afirmação lim x → a ⁡ f x - L = 0 .a) Usando a Definição 1.4.1, escreva por extenso precisamente o que essa afirmação de limites significa.b) Explique por que sua resposta da parte a)
31-36. Use a Definição 1.4.1 para provar que o limite dado está correto. Em cada caso, para mostrar que lim x → a ⁡ f x = L , fatore f x - L como: f x - L = " a l g u m ac o i s a " . x - a E, então,
30. a) Mostre que: 28 3 x + 1 - 4 = 12 3 x + 1 . x - 2 b) Será 12 3 x + 1 limitado se x - 24 ? Se não for, explique; se for, encontre uma cota.c) Será 12 3 x + 1 limitado se x - 21 ? Se não for, expli
Seja: f x = 0 , c o mxr a c i o n a l x , c o mxi r r a c i o n a l Use a definição 1.4.1 para provar que lim x → 0 ⁡ f x = 0 .