Enunciado

Estabeleça o limite usando a Definição 2.1.1; isto é, para qualquer ϵ >   0 , ache um   δ >   0 tal que se 0 < x - a < δ   , então f ( x ) - L < ϵ

lim x → 4 ⁡ x 2 = 16

Passo 1

A exigência da Definição 2.1.1 é a de que x 2   seja definida para qualquer número de algum intervalo aberto que contenha 4 , mas não necessariamente definida para quando x = 4 . O polinômio x 2 definido para todos os números reais, então podemos usar qualquer intervalo aberto que contenha 4 . Assim agora vamos aplicar a Definição 2.1.1.

Se 0 < x - 4 < δ   , então x 2 - 16 < ϵ

Se 0 < x - 4 < δ   , então x - 4 x + 4 < ϵ

Passo 2

Como temos os fatores x - 4 e x + 4 , vamos colocar uma restrição em δ para nos dar uma desigualdade envolvendo x + 4 . Para isso vamos estabelecer um intervalo aberto com as características descritas anteriormente, sendo este 1 ,   7 e isto implica que δ ≤ 1 . Assim podemos deduzir que:

0 < x - 4 < δ e δ ≤ 1

x - 4 < 1

- 1 < x + 4 < 1

7 < x + 4 < 9

x + 4 < 9

Passo 3

Tendo x + 4 < 9 e 0 < x - 4 < δ podemos mostrar que x - 4 x + 4 < 9 δ

Primeiro manipulamos x + 4 < 9

x + 4 < 9 δ

x + 4 δ < 9 δ

Agora manipulamos 0 < x - 4 < δ

0 < x - 4 < δ x + 4

0 < x - 4 x + 4 < δ x + 4

0 < x - 4 x + 4 < δ x + 4 e x + 4 δ < 9 δ temos que x - 4 x + 4 < 9 δ

Passo 4

Como queremos achar x - 4 x + 4 < ϵ e a afirmativa acima indica que devemos requerer 9 δ ≤   ϵ , isto é δ ≤ ϵ 9 . Assim devemos aplicar duas restrições e δ ≤ 1 e δ ≤ ϵ 9 . E para que ambas sejam satisfeitas devemos tomar δ como o menor dos dois números. Prosseguindo temos

x - 4 x + 4 < 9 δ

x - 4 x + 4 < 9 ϵ 9 , pois δ ≤ ϵ 9

x - 4 x + 4 < ϵ

Demonstramos que tomar δ como o menor dos dois números para 0 < ϵ , a seguinte afirmativa é verdadeira

Se 0 < x - 4 < δ   , então x - 4 x + 4 < ϵ

O que prova que lim x → 4 ⁡ x 2 = 16 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule. lim x → p ⁡ x n - p n x - p
Suponha f contínua em R e f x ≥ 0 para todo x racional. Prove que f x ≥ 0 para todo x .
Sejam f e g definidas em R com g x = 0 para todo x . Suponhas que lim x → p ⁡ f x g x = 0 . Prove que existe δ0 tal que 0x - pδ ⟹ f xg x