Enunciado

Estão definidas as funções f e g . Defina a seguinte função e determine o domínio da função composta: f ∘ f

f x = x - 2 ; g x = x 2 - 2

Passo 1

Pra fazer a composição de duas funções não tem stress, é só seguir um passo a passo na tranquilidade:

  1. Identificar a composição que deve ser feita.
  2. Aplicar a função de “fora” na função de “dentro”. E temos a nossa função composta!
  3. Analisar o domínio considerando as raízes, os logaritmos, os quocientes, coisas desse tipo que possam restringir o nosso domínio.

A questão nos pede f ∘ f , que por definição é o mesmo que f ( f x ) . Daí já sabemos que f é a nossa função de fora e a nossa função de dentro!

Passo 2

Escrevendo a f dentro de si mesma:

f x - 2

Agora vamos substituir essa raiz no x da f :

x - 2 - 2

Essa é a f ∘ f !

Passo 3

Agora temos uma situação sutil: uma raiz quadrada dentro de uma raiz quadrada. Vamos analisar para quais valores cada uma existe e daí ficamos com a interseção dos dois domínios!

Para a raiz de dentro, precisamos que:

x - 2 ≥ 0

Ou seja:

x ≥ 2

E da segunda raiz, temos:

x - 2 - 2 ≥ 0

Que fica:

x - 2 ≥ 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

x - 2 ≥ 4

Somando 2 dos dois lados da inequação:

x ≥ 6

Agora vamos ficar com a interseção dos dois intervalos:

x ≥ 2     e     x ≥ 6

Ficamos com o nosso domínio:

[ 6 ,   + ∞ )

Resposta

x - 2 - 2

[ 6 ,   + ∞ )

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