Enunciado

Um determinado lago pode suportar até 14.000 peixes e a taxa de crescimento da população de peixes é conjuntamente proporcional ao número de peixes presentes e à diferença entre 14.000 e o número de peixes existentes. Qual deve ser o tamanho da população para que a taxa de crescimento seja máxima?

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

Esse problema parece bastante com o problema anterior! Dá uma sacada lá pra ver se você entende a ideia.

O problema nos diz que a taxa de crescimento da população é conjuntamente proporcional à quantidade de peixes presentes e à diferença entre 14.000 e a quantidade de peixes que existe. Vamos chamar essa quantidade de peixes de x e vamos chamar de f a função que descreve a taxa de crescimento da população. Se x e 14.000 - x são conjuntamente proporcionais:

f x = x 14.000 - x

Essa é a função que devemos maximizar! E o intervalo fechado que estamos analisando ela é o 0 ,   14.000 já que 14.000 é o máximo de peixes. Observe também que esses dois valores (0 e 14.000) são zeros de f . Ou seja f 0 = f 14.000 = 0 . E pelo teorema do valor extremo, isso quer dizer que teremos o máximo que estamos procurando no interior desse intervalo!

Passo 3

Agora vamos derivar f x e igualar sua derivada a 0 :

d f d x = - 2 x + 14000

Igualando a 0:

- 2 x + 14000 = 0

2 x = 14000

x = 7000

Então temos que a taxa máxima de reprodução dos peixes quando temos 7000 peixes dentro do aquário.

Resposta

7.000 peixes.

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