Enunciado

Estenda os resultados do Exemplo 1, encontrando o menor valor de n para o qual R n   <   0,02 , em que   R n   é fornecido pela Eq. (20).

Passo 1

Primeiramente utilizando a espação da função s e n , dado pela equação 20, que é:

R n = ∫ 0 1 f x - S n x 2 d x

Recomendo que você volte um pouco no livro de uma lida no exemplo 1, vai dar uma ótima base para este exercício, que nada mais é a continuação do que já foi feito no exemplo 1.

Retomando ao exercício, temos fazer a expansão da função s e n de 0 < x < 1 , e assim poderemos aplicar a formula f ( x ) :

f x = ∑ m = 1 ∞ b m   ϕ m ( x )

Em que:

b m = 2 m π 1 - cos ⁡ m π

ϕ m = s e n   m π x

E que sua enésima soma parcial é:

S n = 2 ∑ m = 1 ∞ 1 - cos ⁡ m π m π s e n   m π x

Todos estes dados foram retirados do exemplo 1.

Passo 2

Seguinte com a solução, temos que a expansão do seno no intervalo de 0 < x < 1 , é dada por:

f x = 2 ∑ m = 1 ∞ 1 - cos ⁡ m π m π s e n   m π x

Com a soma parcial:

S n x = 2 ∑ m = 1 ∞ 1 - cos ⁡ m π m π s e n   m π x

Oque significa que nosso erro quadrado neste problema é:

R n = ∫ 0 1 1 - S n x 2 d x

Com isto, vamos aplicar a sequencia de valores de n e teríamos o seguinte:

Mais a diante o calculo numérico nos mostrará que R n < 0,02 para n ≥ 21 .

Resposta

Com isto, vamos aplicar a sequencia de valores de n e teríamos o seguinte:

Mais a diante o calculo numérico nos mostrará que R n < 0,02 para n ≥ 21 .

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