Enunciado

Quando estudam a formação de cordilheiras, os geólogos estimam a quantidade de trabalho necessária para erguer uma montanha a partir do nível do mar. Considere uma montanha que tenha essencialmente o formato de um cone circular reto. Suponha que a densidade do material na vizinhança de um ponto P seja e a altura seja g ( P ) .

  1. Determine a integral definida que representa o trabalho total exercido para formar a montanha.
  2. Assuma que o monte Fuji no Japão tenha o formato de um cone circular reto com raio de 19000 m, altura de 3800 m e densidade constante de 3200 k g / m 3 . Quanto trabalho foi feito para formar o monte Fuji se a terra estivesse inicialmente ao nível do mar?

Passo 1

Quando a partícula de massa m é elevada a uma altura h, o trabalho é m × ρ , onde ρ é a densidade do peso.

Então, quando uma massa com volume d V é elevado a uma altura de h ( P ) , o trabalho é:

h ( P ) ⋅ g ( P ) d V

Integrando, temos:

∫ ∫ E ∫ h ( P ) ⋅ g ( P ) d V

Onde E é a região dentro da montanha.

Passo 2

Letra b:

Da questão letra a, sabemos que o trabalho é ∫ ∫ E ∫ h ( P ) ⋅ g ( P ) d V

Em coordenadas cilíndricas, podemos definir E como:

{ ( r , θ , z ) ∈ E   |   0 ≤ r ≤ R 1 - z H , 0 ≤ z ≤ H ,   0 ≤ θ ≤ 2 π }

Onde H = 12400   p é s é a Altura da montanha e R = 62000   p é s é o Raio da montanha.

O trabalho é ∫ ∫ E ∫ h ( P ) ⋅ g ( P ) d V , então:

∫ 0 2 π ∫ 0 H ∫ 0 R ( 1 - z H ) [ z ] [ 200 ] ⋅ r d r d z d θ

= ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 H ∫ 0 R ( 1 - z H ) 200 r z d r d z

[ θ ] 2 π 0 ∫ 0 H 100 r 2 z 0 R ( 1 - z H ) d z = 2 π ∫ 0 H 100 R 1 - z H 2 z d z

Resolvendo, chegamos em:

200 R 2 H 2 π 6 12 + 3 12 - 8 12 = 50 π R 2 H 2 3

Passo 3

Substituindo os valores de R e H, temos:

T r a b a l h o = 50 π ( 62000 ) 2 ( 12400 ) 2 3 ≈ 3.094 × 1 0 19 f t - l b

Resposta

  1. ∫ ∫ E ∫ h ( P ) ⋅ g ( P ) d V
  2. T r a b a l h o ≈ 3.094 × 1 0 19 f t - l b
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o volume do elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 ≤ 1
Calcule o volume do conjunto x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 ⋅ a ⋅ z e z ≥ x 2 + y 2 , a0 .
Calcule o volume do conjunto x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 ⋅ a ⋅ x e z ≥ x 2 + y 2 , a0 .
Calculee) ∫ ∫ ∫ B z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é conjuntoz ≥ x 2 + y 2 , x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 .
Calculec) ∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 4 + y 2 9 + z 2 ≤ 1 , x ≥ 0 .