Calcule o volume do elipsoide

(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) + (z^2 / c^2) ≤ 1

Passo 1

Nesse problema iremos calcular a integral tripla, que nos da o volume do sólido, usando uma transformação para coordenadas esféricas e calculando o jacobiano, além de analisar o intervalo de integração.

Passo 2

Bom, vamos começar! Temos que nosso conjunto é dado e aparentemente precisara de uma transformação para outro tipo de coordenadas. Aplicando uma transformação para coordenadas esféricas, temos que

x = a ⋅ ρ ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ cos ⁡ θ

y = b ⋅ ρ ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ sin ⁡ θ

z = c ⋅ ρ ⋅ cos ⁡ ϕ

Com o jacobiano sendo d x ⋅ d y ⋅ d z = a ⋅ b ⋅ c ⋅ ρ 2 ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ d ρ ⋅ d θ ⋅ d ϕ . Os novos intervalos de integração serão

0 ≤ ρ ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 ⋅ π

0 ≤ ϕ ≤ π

Substituindo na integral, ficamos com

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z   = a ⋅ b ⋅ c ⋅ ∫ 0 π ∫ 0 2 ⋅ π ∫ 0 1 sin ⁡ ϕ ⋅ ρ 2 ⋅ d ρ ⋅ d θ ⋅ d ϕ =

= ∫ 0 π sin ⁡ ϕ ⋅ d ϕ ⋅ ∫ 0 2 ⋅ π d θ ⋅ ∫ 0 1 ρ 2 ⋅ d ρ = a ⋅ b ⋅ c ⋅ - cos ⁡ ϕ 0 π ⋅ ρ 3 3 0 1 ⋅ 2 ⋅ π =

= 4 ⋅ a ⋅ b ⋅ c ⋅ π 3

Resposta

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z = 4 ⋅ a ⋅ b ⋅ c ⋅ π 3

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