Calcule:
e)
onde é conjunto, .
Passo 1
Fala galerinha! Tranquilidade? Vamos resolver mais uma questãozinha!
O enunciado pede pra gente resolver a integral:
Onde a região é dada por:
E
Pela cara das expressões, vamos precisar adotar coordenadas esféricas. Além disso, vamos precisar encontra os limites de integração também. Vamos nessa!
Passo 2
Bom, vamos começar! Temos que nosso conjunto é dado e aparentemente precisara de uma transformação para outro tipo de coordenadas. Aplicando uma transformação para coordenadas esféricas, temos que
Com o jacobiano sendo:
Os novos intervalos de integração serão
Agora, se a gente brincar um pouco com as regiões que o enunciado nos forneceu, podemos encontrar o seguinte:
Pela segunda expressão, temos:
Substituindo esse valor na primeira expressão, temos:
Ou seja
Com as coordenadas esféricas ,temos:
Sendo assim ,temos que:
Agora conseguimos resolver nossa integral, vamos nessa!
Passo 3
Substituindo na integral, ficamos com:
Simplificando um pouco, temos nossa integral da seguinte forma:
Podemos separar ela em partes, assim:
Resolvendo cada uma com calma, teremos pra primeira:
Para a segunda integral, teremos:
Para a terceira e última integral, resolveremos:
Ela terá uma atençãozinha especial nossa, vamos com calma!
Passo 4
Fazendo uma rápida substituição, temos:
Faremos o seguinte:
Nossos novos limites de integração serão:
Dessa forma, vamos ter nossa integral da seguinte forma:
Resolvendo, temos:
Passo 5
Juntando as informações, temos:
Com isso, nossa integral era:
Seu valor será: