Enunciado

Calcule

e) int int int_B z * d x * d y * d z onde B é conjunto z >= sqrt(x^2 + y^2) , x^2 + y^2 + z^2 <= 1 .

Passo 1

Nesse problema iremos calcular a integral tripla usando uma transformação para coordenadas esféricas e calcular o jacobiano, além de analisar o intervalo de integração.

Passo 2

Bom, vamos começar! Temos que nosso conjunto é dado e aparentemente precisara de uma transformação para outro tipo de coordenadas. Aplicando uma transformação para coordenadas esféricas, temos que

x = rho * sin varphi * cos theta

y = rho * sin varphi * sin theta

z = rho * cos varphi

Com o jacobiano sendo d x * d y * d z = rho^2 * sin varphi * d rho * d theta * d varphi . Os novos intervalos de integração serão

0 <= rho <= 1

0 <= theta <= 2 * pi

0 <= varphi <= (pi)/(4)

Substituindo na integral, ficamos com

int int int_B z * d x * d y * d z = int_0^((pi)/(4)) int_0^(2 * pi) int_0^1 rho * cos varphi * sin varphi * rho^2 * d rho * d theta * d varphi =

= int_0^((pi)/(4)) cos varphi * sin varphi * d varphi * int_0^(2 * pi) d theta * int_0^1 rho^3 * d rho = (1)/(2) * [sin^2 varphi]_0^((pi)/(4)) * 2 * pi * [(rho^4)/(4)]_0^1 =

= (1)/(4) * 2 pi * (1)/(4) = (pi)/(8)

Resposta

int int int_B z * d x * d y * d z = (pi)/(8)

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