Calcule:

e)

∫ ∫ ∫ B z   d x   d y   d z

onde B é conjuntoz >= raiz(x^2 + y^2) , x^2 + y^2 + z^2 <= 1 .

Passo 1

Fala galerinha! Tranquilidade? Vamos resolver mais uma questãozinha!

O enunciado pede pra gente resolver a integral:

∭ B z   d x   d y   d z

Onde a região B é dada por:

z ≥ x 2 + y 2

E

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1

Pela cara das expressões, vamos precisar adotar coordenadas esféricas. Além disso, vamos precisar encontra os limites de integração também. Vamos nessa!

Passo 2

Bom, vamos começar! Temos que nosso conjunto é dado e aparentemente precisara de uma transformação para outro tipo de coordenadas. Aplicando uma transformação para coordenadas esféricas, temos que

x = ρ   sen ⁡ ϕ   cos ⁡ θ

y = ρ   sen ⁡ ϕ   sen ⁡ θ

z = ρ   cos ⁡ ϕ

Com o jacobiano sendo:

d x   d y   d z = ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ   d θ   d ϕ

Os novos intervalos de integração serão

0 ≤ ρ ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

Agora, se a gente brincar um pouco com as regiões que o enunciado nos forneceu, podemos encontrar o seguinte:

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1

z ≥ x 2 + y 2

Pela segunda expressão, temos:

z 2 = x 2 + y 2

Substituindo esse valor na primeira expressão, temos:

2 z 2 = 1

Ou seja

z = 2 2

Com as coordenadas esféricas ,temos:

ρ c o s ϕ = 2 2

c o s ϕ = 2 2

Sendo assim ,temos que:

0 ≤ ϕ ≤ π 4

Agora conseguimos resolver nossa integral, vamos nessa!

Passo 3

Substituindo na integral, ficamos com:

∭ B z   d x   d y   d z = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 0 1 ρ   c o s ϕ ρ 2   s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Simplificando um pouco, temos nossa integral da seguinte forma:

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ρ 3 c o s ϕ   s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Podemos separar ela em partes, assim:

∫ 0 2 π d θ   ∫ 0 π 4 c o s ϕ   s e n ϕ   d ϕ   ∫ 0 1 ρ 3   d ρ

Resolvendo cada uma com calma, teremos pra primeira:

∫ 0 2 π d θ = 2 π

Para a segunda integral, teremos:

∫ 0 1 ρ 3   d ρ = 1 4

Para a terceira e última integral, resolveremos:

∫ 0 π 4 c o s ϕ   s e n ϕ   d ϕ  

Ela terá uma atençãozinha especial nossa, vamos com calma!

Passo 4

Fazendo uma rápida substituição, temos:

∫ 0 π 4 s e n 2 ϕ 2   d ϕ

Faremos o seguinte:

u = 2 ϕ

d u = 2   d ϕ

Nossos novos limites de integração serão:

ϕ = 0 ;     u = 0

ϕ = π 4 ; u = π 2

Dessa forma, vamos ter nossa integral da seguinte forma:

∫ 0 π 4 s e n 2 ϕ 2   d ϕ = 1 4 ∫ 0 π 2 s e n u   d u  

Resolvendo, temos:

1 4 ⋅ - cos ⁡ π 2 - - cos ⁡ 0 = 1 4 ⋅ 0 - - 1 = 1 4

Passo 5

Juntando as informações, temos:

∫ 0 2 π d θ = 2 π

∫ 0 1 ρ 3   d ρ = 1 4

∫ 0 π 4 c o s ϕ   s e n ϕ   d ϕ   = 1 4

Com isso, nossa integral era:

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ρ 3 c o s ϕ   s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Seu valor será:

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ρ 3 c o s ϕ   s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ = 2 π ⋅ 1 4 ⋅ 1 4

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ρ 3 c o s ϕ   s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ = π 8

Resposta

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ρ 3 c o s ϕ   s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ = π 8

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