Enunciado

Estude a função dada com relação a máximo e mínimo no conjunto dado.

f) f x ,   y = x 2 - 2 x y + 2 y 2     em A = { x ,   y   ∈   R 2 ; x + y ≤ 1 } .

Passo 1

Vamos calcular as derivadas para analisar os pontos críticos.

∂ f ∂ x = 2 x - 2 y

∂ f ∂ y = 4 y - 2 x

f 0,0 = 0

Encontrando os pontos críticos,

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y = 0  

2 x - 2 y = 0 - 2 x + 4 y = 0

Reoslvndo o sistema

  x = 0

y = 0

p = ( 0,0 ) é ponto crítico . Aplicando em f

f 0,0 = 0

Passo 2

Vejamos agora a representação da fronteira,

Temos 4 pontos de fronteira, mas nossa análise se resume em verificar

f 0 , y = 2 y 2 , com - 1 ≤ y ≤ 1 e f x , 0 = x 2 , com - 1 ≤ x ≤ 1  

Sendo assim, aplicando f ao extremos ,temos que ( 0,1 ) e ( 0 , - 1 ) são máximos. E O menor valor é atingido em ( 0,0 )

Resposta

( 0,1 ) e ( 0 , - 1 ) são máximos. E O menor valor é atingido em 0,0 )

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