Enunciado

A distribuição de temperatura na chapa circular x 2 + y 2 ≤ 1 é:

T x ,   y = x 2 + y 2 - 2 x + 5 y - 10

Encontrar as temperaturas máxima e mínima da chapa.

Passo 1

Antes de analisarmos a fronteira da chapa vamos analisar os pontos críticos em seu interior, jóia? Sendo assim, derivando parcialmente a função que nos foi dada e igualando-a a zero, teremos:

∂ T ∂ x = 2 x - 2

∂ T ∂ y = 2 y + 5

Igualando a zero:

2 x - 2 = 0 2 y + 5 = 0

Da primeira equação tiramos que x = 1 e da segunda tiramos que y = - 5 2 , dessa forma, um ponto crítico no interior da chapa é 1 ,   - 5 2 .

Passo 2

Agora vamos partir para a análise da fronteira, tudo bem? Sabendo que y 2 = 1 - x ² , temos que:

T x ,   y = x 2 + 1 - x 2 - 2 x + 5 1 - x 2 - 10

T x ,   y = - 2 x - 9 + 5 1 - x 2

Derivando e igualando a zero, teremos:

T ' = - 2 + 5 2 . 1 - x 2 - 1 2 . - 2 x

T ' = - 2 - 5 x 1 - x 2 = 0

Dessa derivada tiramos o ponto - 2 29 , 5 29 .

Passo 3

Como consideramos apenas a raíz positiva da equação da circunferência, agora teremos que considerar a parte negativa, se liga:

T x ,   y = x 2 + 1 - x 2 - 2 x - 5 1 - x 2 - 10

T x ,   y = - 2 x - 9 - 5 1 - x 2

Derivando e igualando a zero, teremos:

T ' = - 2 - 5 2 . 1 - x 2 - 1 2 . - 2 x

T ' = - 2 + 5 x 1 - x 2 = 0

Dessa derivada tiramos o ponto 2 29 ,   - 5 29 . Por fim, analisando todos os pontos críticos que encontramos:

T - 2 29 , 5 29 = - 9 + 29

T 2 29 ,   - 5 29 = - 9 - 29

Sendo assim, podemos concluir que a temperatura máxima da chapa é - 9 + 29 e a temperatura mínima da mesma é - 9 - 29 .

Resposta

Temperatura máxima: - 9 + 29 ;

Temperatura mínima: - 9 - 29 .

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