Enunciado

Nos exercícios 35 a 43, determinar os valores máximo e mínimo da função dada, na região indicada.

37. z = x 2 + y 2 - 2 x - 2 y ; no triângulo de vértices 0 ,   0 ,   3 ,   0 e 0 ,   3 .

Passo 1

Então pessoal, esboçando o triângulo em questão, teremos:

Inicialmente vamos analisar se há pontos críticos no interior da região em questão, tudo bem? Para isso, teremos que derivar parcialmente a função que nos foi dada para depois iguala-la a zero, se liga:

∂ f ∂ x = 2 x - 2

∂ f ∂ y = 2 y - 2

Igualando a zero, teremos:

2 x - 2 = 0 ⇒ x = 1 2 y - 2 = 0 ⇒ y = 1

Sendo assim, temos que o ponto 1 ,   1 é um ponto crítico no interior do triângulo.

Passo 2

Para classificarmos se o ponto crítico que encontramos é ponto de máximo, mínimo ou se é ponto de sela, devemos encontrar o determinante Hessiano, dado da seguinte forma:

H x ,   y = ∂ 2 f ∂ x 2 x ,   y ∂ 2 f ∂ y ∂ x x ,   y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x ,   y ∂ 2 f ∂ y 2 ( x ,   y )  

Então temos que encontrar essas derivadas parciais aí! Sendo assim:

∂ 2 f ∂ x 2 = 2

∂ 2 f ∂ y 2 = 2

∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ 2 f ∂ x ∂ y = 0

Substituindo, teremos:

H x ,   y = 2 0 0 2  

H 1 ,   1 = 4 > 0

∂ 2 f ∂ x 2 1 ,   1 = 2 > 0

Dessa forma, pelas proposições estudadas, temos que se o determinante resulta em um valor positivo, assim como a derivada parcial de segunda ordem, então o ponto em questão é um ponto de mínimo!

Passo 3

Ufa! A primeira parte da análise foi concluída, que é a análise do interior. Agora teremos que analisar a fronteira, ou melhor, cada segmento de reta do triângulo.

Para o segmento A B temos que x + y = 3 , então y = 3 - x , 0 ≤ x ≤ 3 . Sendo assim, teremos:

z = x 2 + 3 - x 2 - 2 x - 2 ( 3 - x )

z = x 2 + 9 - 6 x + x 2 - 2 x - 6 - 2 x

z = 2 x 2 - 6 x + 3

Derivando e igualando a zero:

z ' = 4 x - 6 = 0

x = 3 2

Sendo assim, para esse valor de x :

y = 3 - 3 2 = 3 2

Se substituirmos o ponto 3 2 , 3 2 na função que nos foi dada, notaremos que se trata de um mínimo.

Passo 4

Para o segmento B C temos que x = 0 , então 0 ≤ y ≤ 3 . Sendo assim, teremos:

z = y 2 - 2 y

Derivando e igualando a zero:

z ' = 2 y - 2 = 0

y = 1

Se substituirmos o ponto 0 ,   1 na função que nos foi dada, notaremos que se trata de um mínimo.

Para o segmento C A temos que y = 0 , então 0 ≤ y ≤ 3 . Sendo assim, teremos:

z = x 2 - 2 x

Derivando e igualando a zero:

z ' = 2 x - 2 = 0

x = 1

Se substituirmos o ponto 1 ,   0 na função que nos foi dada, notaremos que se trata de um mínimo. Em resumo, o ponto 1 ,   1 é um ponto de mínimo e apresenta valor de - 2 e o ponto 3 ,   0 é um ponto de máximo e apresenta valor de 3 .

E está aí nossa análise dos máximos e mínimos da função que nos foi dada!

Resposta

Ponto de mínimo: 1 ,   1 , valor: - 2 ;

Ponto de máximo: 3 ,   0 , valor: 3 .

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