Enunciado

Estude a função dada com relação a máximo e mínimo no conjunto dado.

b )   f x ,   y = 3 x - y no conjunto A   de todos x ,   y tais que x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   x 2 + y 1 ≤ 3 ,   x + y ≤ 1

Passo 1

Perceba que a função não tem pontos críticos, então, vamos ter que analisar os pontos de fronteira, beleza?

Para nos ajuda, vamos fazer um desenho de região e identificar o pontos que precisamos.

Passo 2

Perceba que nossos pontos de fronteira são 0,0 , 2,0 , ( 0,3 ) . Vamos aplicar f neles,

Ou seja,

f 2,0 = 3 ⋅ 2 - 0 = 6  

f 0,3 = 3 ⋅ 0 - 3 = - 3

f 0,0 = 0

Passo 3

Mas, sendo x 2 + y 2 = 1 temos que

f x = 3 x - ( 1 - x 2 )

Derivando,

f ' x = 3 - 1 2 1 - x 2 ⋅ ( - 2 x )

f ' x = 3 1 - x 2 + x 1 - x 2

Igualando a zero,

3 1 - x 2 + x 1 - x 2 = 0 ⇒ 3 1 - x 2 + x = 0   ⇒ 9   1 - x 2 = x 2   ⇒ x = ± 3 10 10  

Como para valores dentro do intervalo ( - ∞ , 3 10 10 )   , f ' ( x ) assume valores positivos (crescente). E para valores dentro do intervalo ( 3 10 10 , ∞ )         , f ' ( x ) irá assumir valores negativos (decrescente) temos que x = 3 10 10 é um ponto de máximo no intervalo para f .

Analogamente, x =   -   3 10 10 é mínimo.

Resposta

x =   -   3 10 10 é mínimo e x =     3 10 10 é máximo.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrar as dimensões de uma caixa com base retangular, sem tampa, de volume máximo, com área lateral igual a 5c m 2 .
Dada a função z = a x 2 + b y ² + c ² , analisar os pontos críticos, considerando que:c) a e b têm sinais diferentes.
Um disco tem a forma do círculo x 2 + y 2 ≤ 1 . Supondo que a temperatura nos pontos do disco é dada por T x ,y = x 2 - x + 2 y 2 , determinar os pontos mais quentes e mais frios do disco.
Dada a função z = a x 2 + b y ² + c ² , analisar os pontos críticos, considerando que:b) a0 e b0 .
Dada a função z = a x 2 + b y 2 + c , analisar os pontos críticos, considerando que:a) a0 e b0 .