Enunciado

Um disco tem a forma do círculo x 2 + y 2 ≤ 1 . Supondo que a temperatura nos pontos do disco é dada por T x ,   y = x 2 - x + 2 y 2 , determinar os pontos mais quentes e mais frios do disco.

Passo 1

Antes de analisarmos a fronteira do disco vamos analisar os pontos críticos em seu interior, jóia? Sendo assim, derivando parcialmente a função que nos foi dada e igualando-a a zero, teremos:

∂ T ∂ x = 2 x - 1

∂ T ∂ y = 4 y

Igualando a zero:

2 x - 1 = 0 4 y = 0

Da primeira equação tiramos que x = 1 2 e da segunda tiramos que y = 0 , dessa forma, um ponto crítico no interior do disco é 1 2 , 0 .

Passo 2

Agora vamos partir para a análise da fronteira, tudo bem? Sabendo que y 2 = 1 - x ² , temos que:

T x ,   y = x 2 - x + 2 1 - x 2 = - x 2 - x - 2

Derivando e igualando a zero, teremos:

T ' = - 2 x - 1 = 0

x = - 1 2

Dessa forma, temos que y = ± 3 2 , utilizando a relação y 2 = 1 - x 2 . Portanto, encontramos mais pontos críticos, que são: - 1 2 ,   ± 3 2 . Por fim, analisando todos os pontos críticos que encontramos:

T - 1 2 ,   ± 3 2 = 9 4

T 1 2 ,   0 = - 1 4

Sendo assim, podemos concluir que os pontos mais quentes do disco são - 1 2 ,     ± 3 2 e os pontos mais frios do mesmo é 1 2 , 0 .

Resposta

Pontos mais quentes: - 1 2 ,     ± 3 2 ;

Ponto mais frio: 1 2 , 0 .

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