Enunciado

Estude a função dada com relação a máximo e mínimo no conjunto dado.

d) f x ,   y = x y   em A = { x ,   y   ∈   R 2 ; x ≥ 0 ,   y ≥ 0   e 2 x + y ≤ 5 } .

Passo 1

Vamos calcular as derivadas para analisar os pontos críticos.

∂ f ∂ x = y

∂ f ∂ y = x

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y = 0  

y = 0 x = 0

  x = 0

y = 0

Temos que ( 0,0 ) é ponto crítico e aplicando f ,  

f 0,0 = 0

Passo 2

Vejamos agora a representação da fronteira,

0,0 ,   5 2 , 0 , 0,5

Aplicando f , temos

f 5 2 , 0 = 0 = f ( 0 , y )

f 0,5 = 0

Passo 3

Vamos tentar mais uma coisinha.

Isolando x da definição de A,

f x , y = x 5 - 2 x = 5 x - 2 x 2

f ' x = 5 - 4 x

f ' x = 0

5 - 4 x = 0 ⟹ x = 5 4

Como para valores dentro do intervalo ( - ∞ , 5 4 )   , f ' ( x ) assume valores positivos (crescente). E para valores dentro do intervalo ( 5 4 , ∞ )         , f ' ( x ) irá assumir valores negativos (decrescente) temos que x = 5 4 é um ponto de máximo no intervalo para f .

Dai,

y = 5 2

Logo , ( 5 4 , 5 2 ) é ponto de máximo.

Resposta

( 5 4 , 5 2 ) é ponto de máximo.

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