Enunciado

Funções:a. f ( x , y ) = x 2 + y 2 b. g ( x , y ) = 1 / x 2 + y 2 Curvas:i) A reta x = t ,   y = 2 - 2 t ii) O segmento de reta x = t ,   y = 2 - 2 t ,   0 ≤ t ≤ t .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para resolvermos este exercício, encontraremos os valores absolutos mínimo e máximo dadas as funções sobre as curvas.Funções:(a) f ( x , y ) = x 2 + y 2 (b) g ( x , y ) = 1 x 2 + y 2 Curvas:A reta x = t , y = 2 - 2 t O segmento de reta x = t , y = 2 - 2 t , 0 ≤ t ≤ 1 Vamos lá?

Passo 2

(a)Em primeiro lugar, veja que a derivada é:

d f d t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t d f d t = 2 x d x d t + 2 y d y d t

Passo 3

i.Para x = t , y = 2 - 2 t , a derivada vale:

d f d t = ( 2 t ) ( 1 ) + 2 ( 2 - 2 t ) ( - 2 ) d f d t = 10 t - 8 = 0

Assim, chegamos ao valor t = - 4 5 . Isso resulta nos pontos x e y : x = 4 5 e y = 2 5 . O valor da função para o ponto encontrado é f 4 5 , 2 5 = 16 25 + 4 25 = 4 5 .Temos, então, um valor mínimo absoluto f 4 5 , 2 5 = 4 5 quando t = 4 5 . Não existe um valor máximo para a reta em questão.

Passo 4

ii.E para os extremos: t = 0 encontramos:

x = 0 y = 2

Observe que o valor da função para o ponto encontrado é f ( 0,2 ) = 4 .Para t = 1 , temos:

x = 1 y = 0

E valor da função para o ponto encontrado é f ( 1,0 ) = 1 .Desse modo, o absoluto mínimo é f 4 5 , 2 5 = 4 5 quando t = 4 5 . O absoluto máximo ocorre em f ( 0,2 ) = 4 quando t = 0 .

Passo 5

(b)Agora, observe que a derivada da função vale:

d g d t = ∂ g ∂ x d x d t + ∂ g ∂ y d y d t d g d t = - 2 x x 2 + y 2 2 d x d t + - 2 x x 2 + y 2 2 d y d t

Passo 6

i.Para x = t , y = 2 - 2 t , temos:

x 2 + y 2 = 5 t 2 - 8 t + 4

A derivada vale, então:

d g d t = - 5 t 2 - 8 t + 4 - 2 [ ( - 2 t ) ( 1 ) + ( - 2 ) ( 2 - 2 t ) ( - 2 ) ] d g d t = - 5 t 2 - 8 t + 4 - 2 ( - 10 t + 8 ) d g d t = 0

Desse modo, encontramos então que t = 4 5 . Substituindo em x e y encontramos:

x = 4 5  e  y = 2 5

E o valor da função no ponto é então: g 4 5 , 2 5 = 1 4 5 = 5 4 Temos assim um valor máximo absoluto g 4 5 , 2 5 = 5 4 quando t = 4 5 . Não ocorre o valor mínimo absoluto.

Passo 7

ii.Já para os extremos temos:Para t = 0 :

x = 0 y = 2

O valor da função no ponto encontrado é g ( 0,2 ) = 1 4 .Para t = 1 :

x = 1 y = 0

E o valor da função no ponto encontrado é g ( 1,0 ) = 1 .Desse modo, concluímos que o absoluto mínimo é g ( 0,2 ) = 1 4 quando t = 0 , e 0 absoluto máximo é g 4 5 , 2 5 = 5 4 quando t = 4 5 .

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Estude com relação aos máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.j) f x , y = x 3 + y 3 - 3 x - 3 y e x + 2 y - 3
Estude com relação aos máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.g) f x , y = x 2 - 2 x y + y 2 e x 2 + y 2 = 1
Estude com relação aos máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.c) f x , y = x 2 - 2 x y + 3 y 2 e x 2 + y 2 - 1
Estude com relação aos máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.c) f x , y = x y e x 2 + 4 y 2 = 8
Estude com relação aos máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.h) f x , y = x 2 - 2 y 2 e x 2 + y 2 - 2 x = 0