Resolva a inequação

j) 4x^2 - 4x + 1 <= 0

Passo 1

Para resolver essa inequação, primeiro devemos fazer o estudo do sinal dela. Usando a fórmula para as raízes do exercício 9 . Assim x 1 e x 2 são:

x 1 = - b + Δ 2 a ; e   x 2 = - b - Δ 2 a .

Como para esse polinômio a = 4 , b = - 4 e c = 1 o valor de Δ é:

Δ = b 2 - 4 a c = 4 2 - 4.4 . 1 = 0

E usando as fórmulas para as raízes temos:

x 1 = - - 4 + 0 2.4 = 4 + 0 8 = 1 2

x 2 = - - 4 - 0 2.4 = 4 - 0 8 = 1 2

Então a função troca de sinal no ponto onde x = 1 / 2 .

Passo 2

Agora vamos estudar os sinais. O polinômio 4 x 2 - 4 x + 1 troca de sinal em x = 1 / 2 , então devemos ver os sinais antes e depois desse valor.

  • Para x = 1 / 2 :

Testando para valores menores, por exemplo x = 0 temos: 4 . ( 0 ) 2 - 4 . 0 + 1 > 0

Testando para valores maiores, por exemplo x = 1 temos: 4.1 2 - 4.1 + 1 > 0

Resumindo temos: antes e depois de x = 1 / 2 a função assume valores positivos, apenas em x = 1 / 2 que ela assume o valor nulo e não há intervalos onde ela é negativa:

Passo 3

Agora que já temos os sinais, podemos identificar qual é o intervalo de interesse. O problema pede apenas os valores negativos incluindo o zero, então o único ponto que satisfaz a equação é x = 1 / 2 :

x = 1 / 2

Beleza?

Resposta

x = 1 / 2

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