Enunciado

Resolva a inequação

j ) 4 x^2 - 4 x + 1 <= 0

Passo 1

Para resolver essa inequação, primeiro devemos fazer o estudo do sinal dela. Usando a fórmula para as raízes do exercício 9 . Assim x_1 e x_2 são:

x_1 = (- b + sqrt(Delta))/(2 a) ; e x_2 = (- b - sqrt(Delta))/(2 a) .

Como para esse polinômio a = 4 , b = - 4 e c = 1 o valor de Delta é:

Delta = b^2 - 4 a c = (4)^2 - 4.4 . 1 = 0

E usando as fórmulas para as raízes temos:

x_1 = (- (- 4) + sqrt(0))/(2.4) = (4 + 0)/(8) = (1)/(2)

x_2 = (- (- 4) - sqrt(0))/(2.4) = (4 - 0)/(8) = (1)/(2)

Então a função troca de sinal no ponto onde x = 1 // 2 .

Passo 2

Agora vamos estudar os sinais. O polinômio 4 x^2 - 4 x + 1 troca de sinal em x = 1 // 2 , então devemos ver os sinais antes e depois desse valor.

  • Para x = 1 // 2 :

Testando para valores menores, por exemplo x = 0 temos: 4 . ( 0 )^2 - 4 . (0) + 1 > 0

Testando para valores maiores, por exemplo x = 1 temos: 4.1^2 - 4.1 + 1 > 0

Resumindo temos: antes e depois de x = 1 // 2 a função assume valores positivos, apenas em x = 1 // 2 que ela assume o valor nulo e não há intervalos onde ela é negativa:

Passo 3

Agora que já temos os sinais, podemos identificar qual é o intervalo de interesse. O problema pede apenas os valores negativos incluindo o zero, então o único ponto que satisfaz a equação é x = 1 // 2 :

x = 1 // 2

Beleza?

Resposta

x = 1 // 2

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