Enunciado

Estude o sinal da expressão.

(x - 1) (1 + x) (2 - 3 x)

Passo 1

Para estudar o sinal da expressão vamos analisar as três expressões separadamente:

Para x - 1 temos o seguinte esquema:

A expressão assume valores negativos quando x < 1 e assume valores positivos quando x > 1 .

Para 1 - x temos:

A expressão assume valores negativos quando x < - 1 e assume valores positivos quando x > - 1 .

Para 2 - 3 x temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x > (2)/(3) e assume valores positivos quando x < (2)/(3) .

Vamos analisar agora as três situações, quando a expressão toda é maior que zero, menor e igual a zero:

Para maior que zero temos:

(x - 1) (1 + x) (2 - 3 x) > 0

Para menos que zero:

(x - 1) (1 + x) (2 - 3 x) < 0

E para igual a zero:

(x - 1) (1 + x) (2 - 3 x) = 0

Passo 2

Vamos lá, para resolver a primeira inequação vamos analisar as três imagens que achamos no passo anterior:

Temos que (x - 1) (1 + x) (2 - 3 x) > 0 quando as três expressões forem todas positivas ou quando duas são negativas e a outra é positiva, analisando as três imagens vemos que isso acontece quando:

x < - 1 ou (2)/(3) < x < 1

Passo 3

Para resolver a segunda inequação vamos fazer a mesma análise:

Temos que (x - 1) (1 + x) (2 - 3 x) quando as três expressões forem todas negativas ou quando duas são positivas e a outra é negativa, analisando as três imagens vemos que isso acontece quando:

- 1 < x < (2)/(3) ou x > 1

Passo 4

Agora vamos resolver a equação igual a zero, temos que analisar a seguinte equação:

(x - 1) (1 + x) (2 - 3 x) = 0

Para ela ser zero precisamos que uma das expressões seja igual a zero, assim temos:

x - 1 = 0 -> x = 1

1 + x = 0 -> x = - 1

2 - 3 x = 0 -> x = (2)/(3)

Resposta

x (x - 1) (2 x + 3) > 0 para x < - 1 ou (2)/(3) < x < 1

x (x - 1) (2 x + 3) < 0 para - 1 < x < (2)/(3) ou x > 1

x (x - 1) (2 x + 3) = 0 para x = 1 ou x = - 1 ou x = (2)/(3)

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