Enunciado

Estude o sinal da expressão.

(2 - 3 x)/(x + 2)

Passo 1

Fala galera, vamos para mais uma questão de calc 1. Dessa vez uma sobre estudo de sinais.

Para isso vamos utilizar a regra de sinais da multiplicação e divisão. Vamos nessa!!!!

Passo 2

Para estudar o sinal da expressão vamos analisar o numerador e o denominador separadamente:

Para 2 - 3 x temos o seguinte esquema:

A expressão assume valores negativos quando x > (2)/(3) e assume valores positivos quando x < (2)/(3) .

Para x + 2 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < - 2 e assume valores positivos quando x > - 2 .

Vamos analisar agora as três situações, quando a expressão toda é maior que zero, menor e igual a zero:

Para maior que zero temos:

(2 - 3 x)/(x + 2) > 0

Para menos que zero:

(2 - 3 x)/(x + 2) < 0

E para igual a zero:

(2 - 3 x)/(x + 2) = 0

Passo 3

Vamos lá, para resolver a primeira inequação vamos analisar as duas imagens que achamos no passo anterior:

Temos que (2 - 3 x)/(x + 2) > 0 quando o numerador e o denominador forem ambos positivos ou ambos negativos, ou seja, possuírem o mesmo sinal, analisando as duas imagens vemos que isso acontece quando:

- 2 < x < (2)/(3)

Passo 4

Para resolver a segunda inequação vamos fazer a mesma análise:

Temos que (2 - 3 x)/(x + 2) < 0 quando o numerador e o denominador tiverem sinais opostos, analisando as duas imagens vemos que isso acontece quando:

x < - 2 ou x > (2)/(3)

Passo 5

Agora vamos resolver a equação igual a zero, temos que analisar a seguinte equação:

(2 - 3 x)/(x + 2) = 0

Para ela ser zero precisamos que a expressão do numerador seja igual a zero, assim temos:

2 - 3 x = 0 -> x = (2)/(3)

Aqui temos uma observação, não podemos fazer com que o denominador seja igual a zero, pois a função não seria definida nesse ponto, então temos que ela não está definida quando o denominador é igual a zero, que seria:

x + 2 = 0 -> x = - 2

Resposta

(2 - 3 x)/(x + 2) > 0 para - 2 < x < (2)/(3)

(2 - 3 x)/(x + 2) < 0 para x < - 2 ou x > (2)/(3)

(2 - 3 x)/(x + 2) = 0 para x = (2)/(3) e não está definida para x = - 2

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