Estude a variação das seguintes funções reais: c) h(x) = cos^4(x) + sen^4(x)

Passo 1

Nosso primeiro passo será reescrever a expressão da nossa função em algo mais fácil de se estudar. Neste caso, vamos usar a técnica de completar quadrados da seguinte forma:

cos 2 ⁡ x + s e n 2     x 2 = cos 4 ⁡ x + 2 ⋅ cos 2 ⁡ x ⋅ s e n 2 x + s e n 4 x

Podemos perceber que a expressão acima é quase igual à da nossa função h ( x ) mas para ficar igual, nós precisamos retirar aquela parcela do meio, ou seja, podemos escrever a função como: h x = cos 2 ⁡ x + s e n 2     x 2 - 2 ⋅ cos 2 ⁡ x ⋅ s e n 2 x

Usando a relação fundamental da trigonometria, podemos substituir cos 2 ⁡ x + s e n 2     x 2 = 1 , ficando com: h x = 1 - 2 ⋅ cos 2 ⁡ x ⋅ s e n 2 x

Passo 2

Agora vamos focar na segunda parcela da função. Vale relembrar a fórmula:

s e n   2 a = 2 ⋅ s e n   a ⋅ cos ⁡ a

s e n 2   2 a = 2 ⋅ s e n   a ⋅ cos ⁡ a 2

s e n 2   2 a = 4 ⋅ s e n 2   a ⋅ cos 2 ⁡ a

s e n 2   2 a 2 = 2 ⋅ s e n 2   a ⋅ cos 2 ⁡ a

Usando um pouco de percepção, conseguimos substituir nossa função por:

h x = 1 - 2 ⋅ cos 2 ⁡ x ⋅ s e n 2 x = 1 - s e n 2   2 x 2

h x = 1 - s e n 2   2 x 2

Passo 3

Para simplificar ainda mais a nossa função, podemos pensar na fórmula:

cos ⁡ 2 a = 1 - 2 ⋅ s e n 2   a

2 ⋅ s e n 2   a = 1 - cos ⁡ 2 a

s e n 2 a = 1 - cos ⁡ 2 a 2

Se atentando ao fato de que, na função, temos s e n 2   2 x , então vamos substituir por:

h x = 1 - 1 - cos ⁡ 4 x 2 2 = 1 - 1 - cos ⁡ 4 x 4 Fazendo o mmc afim de resumir a expressão, ficaremos com: h x = 4 - 1 - cos ⁡ 4 x 4 = 3 + cos ⁡ 4 x 4 = 3 4 + cos ⁡ 4 x 4

Passo 4

Agora podemos estudar nossa função h x = 3 4 + cos ⁡ 4 x 4 de forma mais eficiente, para isso vamos utilizar uma tabela: I m h = 1 2 , 1

D h = R

p e r í o d o = π 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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