Encontre o domínio de cada função:

(a) g(t) = sen(e^(-t))

(b) g(t) = raiz(1 - 2^t)

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o domínio das funções g t = sen ⁡ ( e - t ) e g t = 1 - 2 t .

Isso quer dizer que vamos ter que encontrar os valores de t para os quais essas funções estão definidas. Só que é mais fácil pensar nos valores para os quais elas não estão definidas. Por isso, procuramos sempre por restrições na função.

No caso de funções trigonométricas e polinomiais, nós sabemos que elas vão estar definidas pra qualquer valor real. Mas quando temos um quociente, por exemplo, temos que garantir que seu denominador não seja zero.

Para o nosso caso, vamos analisar as restrições na composição de funções trigonométricas, exponenciais e irracionais (como a raiz).

Vamos lá!

Passo 2

A função g t = sen ⁡ ( e - t ) é a composição de uma função trigonométrica, que é o seno, com uma função exponencial, e - t .

Observe que ela não apresenta nenhuma restrição, não tem nenhum valor de t que a função não possa assumir ou que gere alguma indeterminação. Nesse caso, então, dizemos que g ( t ) está definida para todo o conjunto dos números reais, ou seja:

D g = { t ∈ R }

Ou na notação de intervalo, temos o domínio:

D g = - ∞ , + ∞

Passo 3

Agora vamos analisar a função g t = 1 - 2 t . Como a gente tem uma raiz quadrada e a gente sabe que raízes de índice par precisam ter o radicando positivo, a nossa restrição será:

1 - 2 t ≥ 0

Então, isolando t :

2 t ≤ 1  

E calculando o logaritmo natural em ambos os lados:

ln ⁡ 2 t ≤ ln ⁡ 1

Temos:

⇒   t ≤ 0    

Logo, o domínio de g ( t ) será dado por:

D g = ( - ∞ , 0 ]

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) D g = - ∞ , + ∞

b) D g = ( - ∞ , 0 ]

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