Sendo sec x = 4 e 3\*pi / 2 < x < 2\*pi , calcule tg(pi + x / 2) .A entrada fornecida para a fórmula MathML está vazia. Por favor, forneça uma fórmula MathML válida para que eu possa convertê-la conforme as diretrizes dadas.

Passo 1

A dificuldade dessa questão talvez seja analisar a restrição dada para o x. Primeiro temos que notar que x está no quarto quadrante do círculo trigonométrico, então seu cosseno é positivo. Logo, podemos escrever:

sec ⁡ x = 4

1 cos ⁡ x = 4

cos ⁡ x = 1 4

Podemos calcular também o s e n   x   utilizando a relação fundamental da trigonometria:

s e n   x = 1 - 1 4 2 = 15 4

Passo 2

Agora, vamos nos concentrar em escrever melhor t g   π + x 2 . Podemos escrever da seguinte forma:

t g   π + x 2 = t g   π 2 + x 2

E podemos dizer ainda que:

t g   π 2 + x 2 = s e n π 2 + x 2 cos ⁡ π 2 + x 2  

Agora voltando a falar da restrição do x, temos que ter cuidado pois agora utilizaremos o arco π 2 . Para entender onde está esse arco, podemos pegar a restrição original e dividi-la por 2, dessa forma ficando com:

3 π 2 < x < 2 π → 3 π 4 < x < π

Ou seja, nosso arco está no terceiro quadrante, onde a tg é negativa.

Passo 3

Aqui nosso desafio será calcular s e n x 2 e cos ⁡ x 2 para depois substituir no seno e no cosseno da soma. s e n x 2 = 1 - 1 4 2 = 3 8

cos ⁡ x 2 = - 1 + 1 4 2 = - 5 8

No caso do cosseno, como já dito, ele é negativo pela restrição do x

Passo 4

Por fim, vamos utilizar as fórmulas de seno e cosseno da soma para escrever s e n π 2 + x 2 e cos ⁡ π 2 + x 2   .

s e n π 2 + x 2 = s e n π 2 ⋅ c o s x 2 + s e n x 2 ⋅ cos ⁡ π 2

s e n π 2 + x 2 = - 5 8

cos ⁡ π 2 + x 2   = cos ⁡ π 2 ⋅ cos ⁡ x 2 - s e n π 2 ⋅ sen ⁡ x 2

cos ⁡ π 2 + x 2   = - 3 8

Passo 5

Agora basta substituir as informações na expressão que obtivemos no passo 2.

t g   π 2 + x 2 = s e n π 2 + x 2 cos ⁡ π 2 + x 2   = - 5 8 - 3 8 = + 5 3 = + 15 3

Resposta

t g   π 2 + x 2 = 15 3

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