Enunciado

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Dê um exemplo de um par de séries ∑ a n e ∑ b n com termos positivos para as quais lim n → ∞ ⁡ ( a n / b n ) = 0 e ∑ b n diverge, mas ∑ a n converge.

Passo 1

Podemos usar

a n = 1 n 2

b n = 1 n

Sabemos que ∑ n = 1 ∞ ( 1 / n 2 ) converge, pois é a série-p com p = 2 e sabemos também que a série harmônica ∑ n = 1 ∞ ( 1 / n ) diverge.

Passo 2

No limite

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ 1 n 2 1 n = lim n → ∞ ⁡ 1 n 2 n

= lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

Este é um exemplo que ocorre o que é pedido no enunciado.

Neste caso não podemos tirar nenhuma conclusão sobre a convergência das séries, se não soubéssemos que uma converge e a outra diverge, diferentemente de usar um exemplo onde ∑ b n converge, que nesse caso, quando o limite lim n → ∞ ⁡ a n b n = 0 , por comparação implica na convergência de ∑ a n .

Resposta

a n = 1 n 2

b n = 1 n

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Suponha que ∑ a n e ∑ b n sejam séries com termos positivos e que ∑ b n seja divergente.(a) Se a n > b n para todo n , o que você pode dizer de ∑ a n ? Por quê?(b)Se a n < b ...
Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ n 3 n 4 - 1
Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n + 1
Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ n + 1 n n
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 3 - cos ⁡ n n 2 3 - 2
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ s e n n 4 n
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n π 3 n !
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ - 1 n a r c t g n n 2  
Mostre que, se a n > 0 e lim n → ∞ ⁡ n   a n ≠ 0 , então ∑ a n é divergente.
Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ 1 n 1 + 1 / n
Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 4 n
Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ sen 2 ⁡ n n n