Enunciado

Dê um exemplo de um par de séries ∑ a n e ∑ b n com termos positivos para as quais lim n → ∞ ⁡ ( a n / b n ) = 0 e ∑ b n diverge, mas ∑ a n converge.

Passo 1

Podemos usar

a n = 1 n 2

b n = 1 n

Sabemos que ∑ n = 1 ∞ ( 1 / n 2 ) converge, pois é a série-p com p = 2 e sabemos também que a série harmônica ∑ n = 1 ∞ ( 1 / n ) diverge.

Passo 2

No limite

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ 1 n 2 1 n = lim n → ∞ ⁡ 1 n 2 n

= lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

Este é um exemplo que ocorre o que é pedido no enunciado.

Neste caso não podemos tirar nenhuma conclusão sobre a convergência das séries, se não soubéssemos que uma converge e a outra diverge, diferentemente de usar um exemplo onde ∑ b n converge, que nesse caso, quando o limite lim n → ∞ ⁡ a n b n = 0 , por comparação implica na convergência de ∑ a n .

Resposta

a n = 1 n 2

b n = 1 n

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