Enunciado

No exercício abaixo, ache um intervalo em que se situa o erro de truncamento na aproximação do exercício 3, em que a integral é dada por:

∫ 0 π c o s x d x ; n=4

Passo 1

Bom a primeira coisa que temos que saber é qual a fórmula usada para responder essas questões de erro de truncamento usando regra do trapézio.

a formula usada para o erro de truncamento pela regra do trapézio é:

∈   =   - 1 12 b - a f ´ ´ η * ∆ x 2

Calma, calma... eu sei a fórmula parece feia, mas ela é bem simples até, vamos analisar com calma:

b = l i m i t e   s u p e r i o r   d a   i n t e g r a l

a = l i m i t e   i n f e r i o r   d a   i n t e g r a l

f ´ ´ η = s e g u n d a   d e r i v a d a   a p l i c a d a   n o   p o n t o   η

∆ x = b - a n

Em que n é o número de divisões dada na questão...

Ufaaaa... agora vamos aplicar tudo isso

Passo 2

Vamos encontrar o valor de ∆ x :

∆ x = b - a n = π - 0 4 = π 4

Passo 3

Agora vamos encontrar as derivadas da função dada:

f x = c o s ⁡ ( x )

f ´ x =   - s e n ( x )

f ´ ´ x = - c o s ⁡ ( x )

Caso não se lembre das regras de derivação dá uma olhada no curso de cálculo e volta aqui pra entender melhor.

Passo 4

O nosso intervalo é [ a ,   b ] , que seria então [ 0 ,   π ] . Então vamos a aplicar nossa derivada de segunda nesses pontos.

f ´ ´ π = - c o s ⁡ ( π ) = 1

f ´ ´ 0 = - c o s 0 = - 1

Passo 5

Agora vamos jogar na nossa fórmula e pronto estará tudo acabado:

∈ 1   =   - 1 12 b - a * f ´ ´ π * π 4 2

∈ 1   =   - 1 12 π - 0 * 1 * π 4 2

∈ 1 = - 0,161

∈ 2   =   - 1 12 b - a f ´ ´ 0 * π 5 2

∈ 2   =   - 1 12 π - 0 * ( - 1 ) * π 4 2

∈ 2 = 0,161

Logo nosso intervalo será entre esses valores, ou seja:

- 0,161 ≤   ∈   ≤   0.161

Chegamos ao fim, mas nunca é um adeus.

Resposta

- 0,161 ≤   ∈   ≤   0.161

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