Enunciado

Determine a função cuja derivada é f ’ x = e 2 x   e cuja curva passe pelo ponto P ( 0 ,   3 2 ) .

Passo 1

Queremos encontrar uma função f x tal que sua derivada seja f ' x = e 2 x , além disso, a nossa função deve passar pelo ponto P, ou seja, esse ponto deve satisfazer a lei de formação de f ( x ) .

Passo 2

A função exponencial ( e x ) é especial pelo fato da sua derivada ser igual a sua função de origem, porém, no nosso caso temos e 2 x e necessitaremos utilizar a regra da cadeia. Tomemos então uma função g x = e 2 x 2 se a derivarmos obtemos g ' x = 2 e 2 x 2 = e 2 x podemos observar, então, que f   e   g possuem mesma derivada. Sendo assim, podemos utilizar o corolário que vem do teorema do valor médio e diz o seguinte: se encontrarmos uma função g x tal que f ' x = g ' ( x ) para todo valor de x em um intervalo, então, existe uma constante C tal que f x = g x + C .

Passo 3

Da conclusão do corolário podemos obter o seguinte:

f x = g x + C

f x = e 2 x 2 + C

Passo 4

Como a Função passa pelo ponto P ( 0 , 3 2 ) podemos concluir que f 0 = 3 2 . Assim,

f 0 = e 2 * 0 2 + C  

3 2 = e 0 2 + C  

3 2 = 1 2 + C

C = 3 2 - 1 2

C = 2 2  

C = 1

∴ f x = e 2 x 2 + 1

Resposta

f x = e 2 x 2 + 1

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