Enunciado

No Exercício 8, modelamos populações de pulgões e joaninhas com um sistema Lotka-Volterra. Suponha que modifiquemos aquelas equações como a seguir:

d P d t = 2 P 1 - 0,0001 P - 0,01 P J

d J d t = - 0,5 J + 0,0001 P J

  1. Na ausência de joaninhas, o que o modelo prevê sobre os pulgões?
  2. Encontre as soluções de equilíbrio.
  3. Encontre uma expressão para d J / d P .
  4. Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial na parte (c). Então, use o campo de direções para esboçar um retrato de fase. O que as trajetórias de fase têm em comum?
  5. Suponha que no instante t = 0 existam 1000   pulgões e 200 joaninhas. Desenhe a trajetória de fase correspondente e use-a para descrever como ambas as populações variam.
  6. Use a parte (e) para fazer esboços das populações de pulgões e joaninhas como funções de t. Como os gráficos estão relacionados?

Passo 1

  1. Na ausência de joaninhas, J = 0 na primeira equação e o equilíbrio será alcançado quando d P d t = 2 P 1 - 0,0001 P = 0
  2. Onde teremos duas soluções possíveis: P = 0 ou 1 - 0,0001 P = 0 , disso P = 10000 .

    Então, quando não tivermos joaninhas, a população de pulgões ficará estável em 10000.

    Passo 2

  3. Para encontrarmos as soluções de equilíbrio, precisamos encontrar os valores de J e P para os quais d P d t = 0 e d J d t = 0 .
  4. Bom, vamos analisar quando d P d t = 0

    Isso implica que

    2 P 1 - 0,0001 P - 0,01 P J = 0

    P = 0 é uma solução (i)

    Para encontrar a outra solução vamos dividir ambos os lados da equação por P , então:

    2 1 - 0,0001 P - 0,01 J = 0

    Vamos multiplicar a equação toda por 10 4 agora para facilitar nossas contas:

    20000 - 2 P - 100 J = 0

    ! 0000 - P - 50 J = 0

    P + 50 J = 10000 (ii)

    Agora vamos analisar quando d J d t = 0 , então teremos mais duas soluções:

    - 0,5 J + 0,0001 J P = 0

    J = 0 é uma das soluções →   (iii)

    Para encontrar a outra solução, vamos dividir ambos os lados por J , ficamos com:

    - 0,5 + 0,0001 P = 0

    P = 5000 (iv)

    Agora vamos ver o que significam todos esses resultados. Nós temos quatro possíveis soluções:

    1. Equações (i) e (ii) →   Quando J = 0   e   P = 0
    2. Equações (i) e (iv) →   Quando P = 0   e   P = 50 0 0 (essa resposta não faz sentido, pois uma população não pode ter dois valores diferentes ao mesmo tempo.)
    3. Equações (ii) e (iii) Quando P + 50 J = 10000 e J = 0
    4. Substituindo J = 0 , ficamos com P = 10000

    5. Equações (ii) e (iv) Quando P + 50 J = 10000 e P = 5000

    Substituindo P = 5000 , ficamos com 5000 + 50 J = 10000 → J = 100

    Resumindo: nós temos três soluções de equilíbrio:

    J = 0   e   P = 0

    J = 0 e P = 10000

    J = 100 e P = 5000

    Passo 3

  5. Queremos uma expressão para d J / d P , ou seja, uma descrição de como a população de joaninhas varia em função da população de pulgões.
  6. Usando a regra da cadeia, nós podemos escrever:

    d J d P = d J d t x d t d P

    A boa notícia é que o problema nos forneceu d J / d t e d P / d t , basta substituirmos na fórmula:

    d P d t = 2 P 1 - 0,0001 P - 0,01 P J

    d J d t = - 0,5 J + 0,0001 P J

    d J d P = - 0,5 J + 0,0001 P J 1 2 P 1 - 0,0001 P - 0,01 P J  

    d J d P = - 0,5 J + 0,0001 P J 2 P 1 - 0,0001 P - 0,01 P J

    Passo 4

  7. Precisamos usar um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial na parte (c). Ficamos com o campo:
  8. Nosso retrato de fase fica:

    Em comum podemos ver que a solução de equilíbrio J = 100 e P = 5000 está dentro de todas as fases.

    Passo 5

  9. Neste item, podemos usar o campo de direções do item anterior para desenhar a rajetória correspondente para quando inicialmente temos 1000   pulgões e 200 joaninhas. Basta marcar esse ponto no gráfico e traçar a curva seguindo as direções:
  10. Passo 6

  11. Vamos usar a parte (e) para fazer esboços das populações de pulgões e joaninhas como funções de t:

A relação existente entre os gráficos é que eles possuem o mesmo período.

Resposta

  1. A a população de pulgões ficará estável em 10000.
  2. J = 0   e   P = 0
  3. J = 0 e P = 10000

    J = 100 e P = 5000

  4. d J d P = - 0,5 J + 0,0001 P J 2 P 1 - 0,0001 P - 0,01 P J
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva as equações diferenciais 2 x y ' + y = 2 x
Resolva as equações diferenciais 4 x 3 y + x 4 y ' = sin 3 ⁡ x
Resolva as equações diferenciais x y ' + y = x
Resolva as equações diferenciais y ' - y = e x
Resolva as equações diferenciais t 2 d y d t + 3 t y = 1 + t 2