Enunciado

Cada sistema de equações diferenciais é um modelo para duas espécies que cmpetem pelas mesmas fontes ou cooperam por mútuo benefício (plantas em floração e insetos polinizadores, por exemplo). Decida se cada sistema descreve competição ou cooperação e explique por que este é um modelo razoável. (Pergunte-se qual é o efeito que o aumento de uma das espécies tem na taxa de crescimento da outra.)

  1. d x d t = 0,12 x - 0,0006 x 2 + 0,00001 x y
  2.   d y d t = 0,08 x + 0,00004 x y

  3. d x d t = 0,15 x - 0,0002 x 2 - 0,0006 x y

d y d t = 0,2 y - 0,00008 y 2 - 0 , 0002 x y

Passo 1

  1. Precisamos analisar as equações d x d t = 0,12 x - 0,0006 x 2 + 0,00001 x y   e     d y d t = 0,08 x + 0,00004 x y , e decidir se o sistema representa competição ou cooperação.
  2. Bom, podemos generalizar um sistema assim do seguinte jeito:

    d x d t = a 1 x - b 1 x 2 + c 1 x y

    d y d t = a 2 y - b 2 y 2 + c 2 x y

    Aí, sabemos que o sistema é

    Cooperativo se c 1 > 0     e   c 2 > 0 (benefício para as duas espécies)

    Competitivo se c 1 < 0   e   c 2 < 0 (quando a existência de uma prejudica a de outra, elas competem pelos mesmo recursos)

    Predador-presa se c 1 c 2 < 0

    Mas por quê? Note que   d x d t = a 1 x - b 1 x 2 é um modelo populacional de x quando não há interação com y . A partir do momento que adicionamos o termo c 1 x y , a espécie y passa a interferir na quantidade de elementos da espécie x , contribuindo para seu crescimento quando c 1 x y > 0 , definindo uma interação com benefícios. O mesmo vale para a equação de d y d t . Similarmente, quando c 1 < 0   e   c 2 < 0 uma espécie prejudica a existência da outra.

    Passo 2

    Agora que relembramos o que esses termos querem dizer, vamos olhar as equações do problema:

    d x d t = 0,12 x - 0,0006 x 2 + 0,00001 x y

    d y d t = 0,08 x + 0,00004 x y

    Aqui nós temos c 1 = 0,00001 > 0 e c 2 = 0,00004 > 0

    Então podemos concluir que a presença de uma espécie traz benefícios para a outra. Temos uma relação de cooperação.

    Passo 3

  3. Da mesma forma como no item (a), vamos analisar o sistema:

d x d t = 0,15 x - 0,0002 x 2 - 0,0006 x y

d y d t = 0,2 y - 0,00008 y 2 - 0 , 0002 x y

Agora, veja que c 1 = - 0,0006 < 0 e c 2 = - 0,0002 < 0

De acordo com a definição que estudamos, quando ambas variáveis são negativas quer dizer que a existência de uma espécie prejudica a outra, ou seja: temos um sistema de competição.

Resposta

  1. Cooperativo
  2. Competitivo
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Resolva a equação diferencial. d y d x = xs e n2 x + y tan ⁡ x , - π 2xπ 2
Resolva a equação diferencial. d y d x + 2 x y = x 2
Resolva a equação diferencial e use uma calculadora gráfica ou um computador para plotar vários membros da família de soluções. x y ' + y = x cos ⁡ x , x0
Resolva o problema de valor inicial. y ' = x + y , y 0 = 2
Use o método do exercício 23 para resolver a equação diferencial. y ' + y = x y 3