Enunciado

No exercício a seguir, ache a equação cartesiana do gráfico tendo a equação polar dada.

r = 9 s e n 2   1 2 θ

Passo 1

Legal, temos que transformar essa nossa amiga aí em uma equação cartesiana (do tipo mais comum com x e y). Primeira coisa que você tem que fazer é aquela nossa coisa que já tá batida e você deve ter na ponta da língua! As relações de r com x e y.

x = r c o s ( θ )

y = r s i n ( θ )

r 2 = x 2 + y 2

Passo 2

SIMBORA PRAS CONTINHAS! Então galera, de cara a gente vê que o ângulo que ta dentro do seno, não é θ , mas sim   1 2 θ . E sim, isso muda muita coisa. Começando que a gente não pode usar aquelas nossas relações lá em cima. Então vamo dar uma mudadinha nele, usando o arco metade.

s e n a 2 =   ±   1 - cos ⁡ a 2    

s e n 2 a 2 = ±   1 - cos ⁡ a 2  

E agora a gente volta pra a nossa equação do começo, substituindo por nossa transformação.

r = 9 s e n 2   1 2 θ

r = 9 1 -   cos ⁡ θ 2

Mas sabemos lá das nossas relações que:

x = r c o s ( θ )

x r = c o s ( θ )

Logo:

r = 9 1 - x r   2

Passo 3

Legal, tamo na reta final hein galera! Vamo agora fazer algumas continhas básicas pra matar a questão de vez!

r = 9 2 - 9 x 2 r

9 x 2 r + r = 9 2

9 x 2 + r 2 = 9 r 2

Por fim, basta transformar tudo que tem r!

9 x 2 + x 2 + y 2 = 9 2   x 2 + y 2

Agora vamo terminar e ir pra próxima!!

y 2 = 9 2   x 2 + y 2 - 9 x 2 - x 2  

Resposta

y 2 = 9 2   x 2 + y 2 - 9 x 2 - x 2  

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Descreva em palavras a superfície cuja a equação é dada a seguir ϕ = π 3
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Converta de coordenadas esféricas para coordenadas cilíndricas. 4 , π 4 , π 3
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