Calcule a integral indefinida:

∫ x sec 2 ⁡ x d x

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e trigonométrica) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui. Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função polinomial. Teremos então:

d v = sec 2 ⁡ x d x v =   ? u = x d u =   ?

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

d v = sec 2 ⁡ x d x v = ∫ sec 2 ⁡ x d x = tan ⁡ x + C u = x d u =   1 d x

Devemos lembrar que tan ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x . A primitiva que precisávamos para achar v .

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

∫ x ⏟ u sec 2 ⁡ x d x ⏟ d v = x ⏟ u tan ⁡ x ⏟ v - ∫ tan ⁡ x ⏟ v 1 d x ⏟ d u

∫ x sec 2 ⁡ x d x = x tan ⁡ x - ∫ tan ⁡ x d x

Passo 4

Vamos precisar achar a integral ∫ tan ⁡ x d x = ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x d x . Para isso, vamos efetuar a seguinte substituição:

u = cos ⁡ x d u = - sen ⁡ x d x   →   - d u = sen ⁡ x d x

A integral na variável u será uma integral imediata:

∫ tan ⁡ x d x = ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ - d u u = - ∫ d u u = - ln ⁡ u + C = - ln ⁡ cos ⁡ x + C

Pronto.

Passo 5

Agora substituímos o resultado em:

∫ x sec 2 ⁡ x d x = x tan ⁡ x - ∫ tan ⁡ x d x = x tan ⁡ x - - ln ⁡ | cos ⁡ x | + C

∫ x sec 2 ⁡ x d x = x tan ⁡ x + ln ⁡ | cos ⁡ x | + C

Não pode esquecer da constante, hein.

Resposta

∫ x sec 2 ⁡ x d x = x tan ⁡ x + ln ⁡ | cos ⁡ x | + C

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