Enunciado

No exercício a seguir, o gráfico da equação é uma elipse ou uma hipérbole. Ache o centro, vértices e focos da cônica. Se o gráfico for uma elipse, ache também as extremidades do eixo menor. Se o gráfico for uma hipérbole, ache também as equações das assíntotas. Faça um esboço da curva e mostre os focos. Se a curva for uma hipérbole, trace também as assíntotas.

4 x 2 + 9 y 2 + 32 x - 18 y + 37 = 0

Passo 1

Bom, primeiro que a gente não sabe se isso é uma hipérbole ou uma elipse. Então vamo lá tentar descobrir? SIMBORA!

Para fazer tal coisa, a gente deve primeiro pegar essa equação e deixar ela na forma reduzida, pra gente trabalhar com a parte fácil do negocio! Então, vamos ajeitar isso daí.

4 x 2 + 9 y 2 + 32 x - 18 y + 37 = 0

4 x 2 + 32 x + 9 y 2 - 18 y + 37 = 0

4 ( x 2 + 8 x ) + 9 ( y 2 - 2 y ) + 37 = 0

Bem, chegando aqui a gente agora vai aplicar a técnica de completar o quadrado. A gente observa que 4 x 2 + 8 x   e   9 ( y 2 - 2 y ) se parecem com dois termos elevados ao quadrado, faltando só uma parte. Então a gente pode reescrever eles de uma forma mais simpels, subtraindo o que está faltando. Belezinha? Então vamo continuar:

4 ( x 2 + 8 x ) + 9 ( y 2 - 2 y ) + 37 = 0

4 x + 4 2 - 64 + 9 y - 1 2 - 9 + 37 = 0

4 x + 4 2 + 9 y - 1 2 - 73 + 37 = 0

4 x + 4 2 + 9 y - 1 2 = 36

x + 4 2 9 + y - 1 2 4 = 1

AEEEE!! Conseguimos chegar na nossa tão sonhada EQUAÇÃO REDUZIDA! E a gente já pode dizer que isso é uma elipse, pois entre os termos de “x” e “y”, há uma soma.

Outro ponto a se observar aqui, é que essa elipse está “deitada” (pois o número que está debaixo do x é maior que o de y) e ela também corresponde a um caso de translação, ou seja, ela não está centrada na origem. Mas calma, isso é facilmente corrigido.

Passo 2

Então já que chegamos na nossa elipse, vamos procurar o que a gente quer dela!

x + 4 2 9 + y - 1 2 4 = 1

Antes de mais nada, devemos lembrar que nessa equação, o “x” e o “y” da equação não estão sozinhos (estão sendo somados/subtraídos de algum valor), logo, a nossa elipse não está centrada na origem. Então o primeiro passo é transformar as nossas coordenadas xy em coordenadas x’y. E é bem fácil, relaxa 😊

x ' = x + 4

y ' = y - 1

Sim, está feito. E não, não é zoeira kkkkkk. Já que a gente considerou agora (depois da transformação) que o centro está na origem, vamos definir o que é cada coisa aqui.

x + 4 2 9 + y - 1 2 4 = 1

Logo:

a 2 = 9

a = 3

E também:

b 2 = 4

b = 2

E da fórmula:

a 2 = b 2 + c 2

9 = 4 + c 2

5 = c 2

c =   5

Ja temos o nescessário para acharmos os Focos e os Vértices da nossa elipse. Nos vértices e nos focos, a gente vai considerar A’, B’ e F’ (já que estamos nas coordenadas x’y).

A ' 1 = a , 0 = ( 3,0 )

A ' 2 = - a , 0 = ( - 3,0 )

B ' 1 = 0 , b = ( 0,2 )

B ' 2 = 0 , - b = ( 0 , - 2 )

F ' 1 = c , 0 = ( 5 , 0 )

F ' 2 = - c , 0 = ( - 5,0 )

Passo 3

Ufa, tamo quase terminando!! Agora pra matar a questão de vez, a gente vai voltar ao sistemas de coordenadas xy. Pra isso, vamos fazer a seguinte:

Lembra que a gente antes fez essas transformações?

x ' = x + 4

y ' = y - 1

Agora vamos desfazer, pra termos a resposta do jeito que deve ser!! Par afazer isso, vamos pegar os pares ordenados de cada elemento que a gente achou lá em cima, e substituir pelas equações... Não entendeu? Relaxa! Vamos para a prática:

Temos que:

x ' = x + 4

y ' = y - 1

Substituindo em A’:

A ' 1 = ( 3,0 )

3 = x + 4

x = - 1

0 = y - 1

y = 1

Logo:

A ' 1 = ( 3 , 0 )   A 1 = ( - 1 , 1 )

Entenderam? Facinho facinho. Agora vamos para o resto dos vértices e focos, usando a mesma regra 😊

A ' 1 = ( 3,0 )   A 1 = ( - 1,1 )

A ' 2 = ( - 3,0 )   A 2 = ( - 7,1 )

Agora para o B:

B ' 1 = ( 0,2 )   B 1 = ( - 4,3 )

B ' 2 = ( 0 , - 2 )   B 2 = ( - 4 , - 1 )

Agora para o F:

F ' 1 = ( 0 , 5 )   F 1 = ( 5 - 4 , 1 )

F ' 2 = ( 0 , - 5 )   F 2 = ( - 5 + 4 , 1 )

E agora pra matar a questão, vamos para o esboço:

Resposta

  A 1 = - 1,1

  A 2 = ( - 7,1 )

  B 1 = ( - 4,3 )

  B 2 = ( - 4 , - 1 )

  F 1 = 5 - 4 , 1

  F 2 = ( - 5 + 4 , 1 )

Eixo menor: B

Extremidades:

d e ( - 4,3 )

a ( - 4,1 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Complete os quadrados para identificar as seções cônicas nos Exercícios 69-76. Encontre seus focos, vértices, centros e assíntotas (conforme apropriado). Se a curva for uma parábola, encontre também s
Complete os quadrados para identificar as seções cônicas nos Exercícios 69-76. Encontre seus focos, vértices, centros e assíntotas (conforme apropriado). Se a curva for uma parábola, encontre também s
Complete os quadrados para identificar as seções cônicas nos Exercícios 69-76. Encontre seus focos, vértices, centros e assíntotas (conforme apropriado). Se a curva for uma parábola, encontre também s
A região “triangular” no primeiro quadrante delimitado pelo eixo x , a reta x = 4 e a hipérbole 9 x 2 - 4 y 2 = 36 é girada em relação ao eixo x para gerar um sólido. Encontre o volume do sólido.
Mostre que as equações x = r cos ⁡ θ , x = r sen ⁡ θ transformam a equação polar: r = k 1 + e cos ⁡ θ na equação cartesiana 1 - e 2 x 2 + y 2 + 2 k e x - k 2 = 0