Ache a derivada da função f(x) = sech(tan(3x)) .

Passo 1

Analisando a questão, verificamos que é uma composição de uma função hiperbólica com uma trigonométrica em que a tan ⁡ 3 x está dentro da s e c h , daí concluímos que teremos que utilizar a regra da cadeia (derivada de fora vezes a derivada de dentro).

Começaremos então derivando a função hiperbólica (derivada de fora) e depois iremos ver a derivada de dentro.

Para isso, devemos lembrar a derivada

( sech ⁡ x ) ' = ( - sech ⁡ x ) ( tgh ⁡ x )

Porém, quando temos uma função no lugar de x , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de x .

( sech ⁡ u ) ' = - sech ⁡ u tgh ⁡ u ⋅ u '

Passo 2

No nosso exemplo, f x = sech ⁡ tan ⁡ 3 x ⏟ u , logo u = tan ⁡ 3 x e basta substituir na fórmula da derivada apresentada, ficando com

f' x = ( sech ⁡ ( tan ⁡ 3 x ) ) ' = - sech ⁡ ( tan ⁡ 3 x ) tgh ⁡ ( tan ⁡ 3 x ) ⋅ ( tan ⁡ 3 x ) '

Passo 3

Agora precisamos da derivada de tan ⁡ 3 x .

Devemos lembrar que ( tan ⁡ x ) ' = sec 2 ⁡ x , porém temos, no nosso exemplo, 3 x no lugar de x , então devemos utilizar a regra da cadeia

tan ⁡ 3 x ) ' = ( sec 2 ⁡ 3 x 3 x ' = 3 ⋅ sec 2 ⁡ 3 x

Aqui foi utilizada a derivada a x ' = a com a = 3 .

Passo 4

Substituindo a derivada ( tan ⁡ 3 x ) ' = 3 ⋅ sec 2 ⁡ 3 x em

f ' x = - sech ⁡ ( tan ⁡ 3 x ) tgh ⁡ ( tan ⁡ 3 x ) ⋅ ( tan ⁡ 3 x ) '

temos f ' x = - sech ⁡ ( tan ⁡ 3 x ) tgh ⁡ ( tan ⁡ 3 x ) ⋅ ( 3 ⋅ sec 2 ⁡ 3 x )

f ' x = - 3 sech ⁡ ( tan ⁡ 3 x ) ⋅ tgh ⁡ ( tan ⁡ 3 x ) ⋅ ( sec 2 ⁡ 3 x )

Resposta

f ' x = - 3 sech ⁡ ( tan ⁡ 3 x ) ⋅ tgh ⁡ ( tan ⁡ 3 x ) ⋅ ( sec 2 ⁡ 3 x )

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