Enunciado

Ache a derivada da função f (x) = sech ( tan 3 x ) .

Passo 1

Analisando a questão, verificamos que é uma composição de uma função hiperbólica com uma trigonométrica em que a tan 3 x está dentro da s e c h , daí concluímos que teremos que utilizar a regra da cadeia (derivada de fora vezes a derivada de dentro).

Começaremos então derivando a função hiperbólica (derivada de fora) e depois iremos ver a derivada de dentro.

Para isso, devemos lembrar a derivada

( sech x ) ' = ( - sech x ) ( tgh x )

Porém, quando temos uma função no lugar de x , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de x .

( sech u ) ' = (- sech u) (tgh u) * u '

Passo 2

No nosso exemplo, f (x) = sech underset(u)(ubrace (tan 3 x)) , logo u = tan 3 x e basta substituir na fórmula da derivada apresentada, ficando com

f' (x) = ( sech ( tan 3 x ) ) ' = (- sech ( tan 3 x )) (tgh ( tan 3 x )) * ( tan 3 x ) '

Passo 3

Agora precisamos da derivada de tan 3 x .

Devemos lembrar que ( tan x ) ' = sec^2 x , porém temos, no nosso exemplo, 3 x no lugar de x , então devemos utilizar a regra da cadeia

(tan 3 x ) ' = ( sec^2 3 x) (3 x) ' = 3 * sec^2 3 x

Aqui foi utilizada a derivada (a x) ' = a com a = 3 .

Passo 4

Substituindo a derivada ( tan 3 x ) ' = 3 * sec^2 3 x em

f ' (x) = (- sech ( tan 3 x )) (tgh ( tan 3 x )) * ( tan 3 x ) '

temos f ' (x) = (- sech ( tan 3 x )) (tgh ( tan 3 x )) * ( 3 * sec^2 3 x )

f^(' (x)) = - 3 (sech ( tan 3 x )) * (tgh ( tan 3 x )) * ( sec^2 3 x )

Resposta

f^(' (x)) = - 3 (sech ( tan 3 x )) * (tgh ( tan 3 x )) * ( sec^2 3 x )

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