Enunciado

No exercício a seguir, o gráfico da equação é uma elipse ou uma hipérbole. Ache o centro, vértices e focos da cônica. Se o gráfico for uma elipse, ache também as extremidades do eixo menor. Se o gráfico for uma hipérbole, ache também as equações das assíntotas. Faça um esboço da curva e mostre os focos. Se a curva for uma hipérbole, trace também as assíntotas.

4 x 2 + y 2 + 24 x - 16 y + 84 = 0

Passo 1

Bom, primeiro que a gente não sabe se isso é uma hipérbole ou uma elipse. Então vamo lá tentar descobrir? SIMBORA!

Para fazer tal coisa, a gente deve primeiro pegar essa equação e deixar ela na forma reduzida, pra gente trabalhar com a parte fácil do negocio! Então, vamos ajeitar isso daí. Primeiro vamos tentar deixar o que é “x com x” e o que é “y com y”.

4 x 2 + y 2 + 24 x - 16 y + 84 = 0

4 x 2 + 24 x + y 2 - 16 y + 84 = 0

4 ( x 2 + 6 x ) - K + y 2 - 16 y - P + 84 = 0

Bem, chegando aqui a gente agora vai aplicar a técnica de completar o quadrado. A gente observa que 4 ( x 2 + 6 x )   e   ( y 2 - 16 y ) se parecem com dois termos elevados ao quadrado, faltando somente o terceiro termo, então a gente subtrai deles, e chamamos esses termos de K e P (já que está faltando, né?)

4 x + 3 2 - 36 + y - 8 2 - 64 + 84 = 0

4 x + 3 2 + y - 8 2 = 16

x + 3 2 4 + y - 8 2 16 = 1

AEEEE!! Conseguimos chegar na nossa tão sonhada EQUAÇÃO REDUZIDA! E a gente já pode dizer que isso é uma elipse, pois entre os termos de “x” e “y”, há uma soma. Legal, mas a questão ainda não terminou.

Outro ponto a se observar aqui, é que essa elipse está “em pé” (pois o número que está debaixo do y é maior que o de x) e ela também corresponde a um caso de translação, ou seja, ela não está centrada na origem. Mas calma, isso é facilmente corrigido.

Passo 2

Então já que chegamos na nossa elipse, vamos “dar nomes aos bois”!

x + 3 2 4 + y - 8 2 16 = 1

Antes de mais nada, devemos lembrar que nessa equação, o “x” e o “y” da equação não são termos isolados (estão sendo somados/subtraídos de algum valor), logo, a nossa elipse não está centrada na origem. Então o primeiro passo é transformar as nossas coordenadas xy em coordenadas x’y. E é bem fácil, relaxa 😊

x ' = x + 3

y ' = y - 8

Sim, está feito. E não, não é zoeira kkkkkk. Já que a gente considerou agora (depois da transformação) que o centro está na origem, vamos definir o que é cada coisa aqui. Da nossa nova equação, temos que:

x ' 4 + y ' 16 = 1

Logo:

a 2 = 16

a = 4

E também:

b 2 = 4

b = 2

E da fórmula:

a 2 = b 2 + c 2

16 = 4 + c 2

12 = c 2

c =   12 = 2 3

Ja temos o nescessário para acharmos os Focos e os Vértices da nossa elipse. Nos vértices e nos focos, a gente vai considerar A’, B’ e F’ (já que estamos nas coordenadas x’y). LEMBRANDO que o eixo maior é eixo y!! Não vamos esquecer disso na resposta final, porque o enuciado exige as coordenadas do eixo menor! Das formulas, temos que:

A ' 1 = 0 , a = ( 0,4 )

A ' 2 = 0 , - a = ( 0 , - 4 )

B ' 1 = b , 0 = ( 2,0 )

B ' 2 = - b , 0 = ( - 2,0 )

F ' 1 = 0 , c = ( 0 , 2 3 )

F ' 2 = 0 , - c = ( 0 , - 2 3 )

Passo 3

Ufa, tamo quase terminando!! Agora pra matar a questão de vez, a gente vai voltar ao sistemas de coordenadas xy. Pra isso, vamos fazer a seguinte:

Temos que:

x ' = x + 3

y ' = y - 8

Logo, para o caso de A’, por exemplo, vamos ter que:

A ' 1 = ( 0,4 )

0 = x + 3

- 3 = x

E:

y ' = y - 8

4 = y - 8

12 = y

Logo:

A 1 = ( - 3,12 )

Entereram? Fácil né? Se não entendeu, volta aí e vai passando devagar as transformações... Se você já entendeu, vamo prosseguir fazendo as transformações para o A, B e F!

Primeiro o A, já puxando o gancho do exemplo das transformações.

A ' 1 = ( 0,4 )   A 1 = ( - 3,12 )

A ' 2 = ( 0 , - 4 )   A 2 = ( - 3,4 )

Agora para o B:

B ' 1 = ( 2,0 )   B 1 = ( - 5,8 )

B ' 2 = ( - 2,0 )   B 2 = ( - 1,8 )

Agora para o F:

F ' 1 = ( 0,2 3 )   F 1 = ( - 3,2 3 + 8 )

F ' 2 = ( 0 , - 2 3 )   F 2 = ( - 3,2 3 - 8 )

E agora pra matar a questão, vamos para o esboço:

Resposta

  A 1 = ( - 3,12 )

  A 2 = - 3,4

  B 1 = ( - 5,8 )

  B 2 = ( - 1,8 )

  F 1 = ( - 3,2 3 + 8 )

  F 2 = ( - 3,2 3 - 8 )

Eixo menor: B

Extremidades:

d e ( - 5,8 )

a ( - 1,8 )

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