Enunciado

No exercício a seguir, ache a equação da elipse com as propriedades dadas e faça um esboço do gráfico.

Focos em (-3,2) e (-3,6) e comprimento do semi-eixo menor é três quartos do comprimento do semi-eixo maior.

Passo 1

A questão nos dá o foco e uma informação envolvendo os valores de a e b, então vamos ter foco (entenderam a piada? kkkk) e resolver isso igual Sherlock Holmes faria: Inteligentemente. Bom, a gente tem logo de cara que os focos estão no mesmo eixo (eixo dos y), logo o maior vértice é também no eixo dos y.

F 1 = - 3,2   e   F 2 = ( - 3,6 )

Logo a distância focal dessa elipse é 4, portanto:

2 c = 4

c = 2  

Passo 2

Olhe só!! Temos o valor de c e isso é um ótimo começo. E como dito anteriormente, os focos estão no mesmo eixo (eixo dos y), logo o maior vértice é também no eixo dos y. Tá mas... e agora? Vamos para a próxima info que eles nos deu: e comprimento do semi-eixo menor é três quartos do comprimento do semi-eixo maior. Isso me lembra uma equação... não lembra?

a 2 = b 2 + c 2

E segundo a info:

b = 3 4 * a  

Portanto temos que:

a 2 = 3 4 a + 4

Passo 3

Então saiba meu bacano: Se você tem o valor de a, b e c em uma elipse, e qualquer informação sobre o centro, você tem a equação da mesma! Vamos para a reta final!

Em uma equação de elipse, temos esse formato:

x - x c 2 a 2 + y - y c 2 b 2 = 1

Em que Xc e Yc correspondem respectivamente as coordenadas x e y do centro da elipse. Pelas informações que a gente já tem, sabemos que o nosso centro fica na posição (0,6). Portanto nosso Xc = 0 e nosso Yc = 6. Vamos montar a equação e nos livrar dessa questão? SIMBORA!

Organizando os dados: a = 2 , b = 2, Xc = 0, Yc = 6.

Logo, a nossa equação é:

x 2 4 + y - 6 2 4 = 1

Fazendo o esboço, fica:

SUPER DICA: QUANDO TEMOS SOMENTE UM FOCO, A NOSSA ELIPSE É UMA CIRCUFERÊNCIA

Resposta

x 2 4 + y - 6 2 4 = 1

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