Enunciado

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Nos Exercícios 11-18, determine o coeficiente angular do gráfico da função em um ponto dado. Em seguida, determine uma equação para a reta tangente ao gráfico naquele ponto.

g x = x x - 2 ,       ( 3,3 )

Passo 1

Para determinar o coeficiente angular da curva no ponto dado, usaremos a equação:

m = lim h → 0 ⁡ g x + h - g x h

Passo 2

Vamos substituir a função g x na equação acima:

m = lim h → 0 ⁡ x + h x + h - 2 - x x - 2 h

Substituindo h = 0 , vemos que dá ruim.

m = lim h → 0 ⁡ x + h x + h - 2 - x x - 2 h = x + 0 x + 0 - 2 - x x - 2 0 = 0 0

Aí temos que fazer algumas mexidas para sair dessa enrascada. Vamos começar fazendo o MMC no numerador:

m = lim h → 0 ⁡ x + h x - 2 - x x + h - 2 x + h - 2 x - 2 h

m = lim h → 0 ⁡ x + h x - 2 - x x + h - 2 h x + h - 2 x - 2

Passo 3

Em seguida vamos fazer o chuveirinho nos termos de cima

m = lim h → 0 ⁡ x 2 - 2 x + h x - 2 h - x 2 - h x + 2 x h x + h - 2 x - 2

m = lim h → 0 ⁡ - 2 h h x + h - 2 x - 2

Passo 4

Em seguida cortamos o termo h , ok?

m = lim h → 0 ⁡ - 2 x + h - 2 x - 2 = - 2 x + 0 - 2 x - 2 = - 2 x - 2 2

Agora vamos substituir o valor de x dado:

m = - 2 3 - 2 2 = - 2

Passo 5

Lembrando da equação da tangente

y - g a = m x - a

Agora devemos substituir o valor encontrado de m .

y - 3 = - 2 x - 3

Resposta

m = - 2

y - 3 = - 2 x - 3

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