Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.

∫ 0 ln ⁡ 2 ∫ 1 ln ⁡ 5 e 2 x + y   d y d x

Passo 1

Fala galerinha tranquilidade, seguinte nesses exercícios nós teremos que integrar cada váriavel mantendo a outra constante, como se fosse uma derivada parcial, isso porque vamos utlizar o teorema de Fubini, que diz que podemos calcular um volume por meio de uma integral dupla em relação ao plano xy, a deinição diz o seguinte:

Desde que a função seja contínua entre os limites de ingração do retângulo.

Passo 2

Com isso podemos calcular as integrais usando o método mais conveniente, é imporante que se faço o cálculo das funções mais internas para as mais externas. Temos então o seguinte:

∫ 0 ln ⁡ 2 ∫ 1 ln ⁡ 5 e 2 x + y   d y d x

Vamos resolver de dentro para fora:

∫ 1 ln ⁡ 5 e 2 x + y   d y = ∫ 1 ln ⁡ 5 e 2 x ⋅ e y   d y

Repare que o termo com x se torna constante, já que estamos integrando em y !

Com isso, ficamos com:

e 2 x ⋅ ∫ 0 ln ⁡ 5 e y   d y

Agora essa integral é tranquila de resolver. Ficamos com:

e 2 x ⋅ e y 1 ln ⁡ 5  

Avaliando nos limites de integração, temos:

e 2 x ⋅ e l n 5 - e 1 = e 2 x ⋅ 5 - e

Passo 3

Nossa integral se torna, então: ∫ 0 ln ⁡ 2 ∫ 1 ln ⁡ 5 e 2 x + y   d y d x = ∫ 0 ln ⁡ 2 e 2 x ⋅ 5 - e   d x

Resolvendo essa integral, podemos tirar os termos que não dependem de x !

Dessa forma, temos:

5 - e ⋅ ∫ 0 ln ⁡ 2 e 2 x d x

Podemos fazer uma rápida substituição, na forma:

u = 2 x

d u = 2 d x

Os novos limites serão:

x = 0 ; u = 0

E

x = ln ⁡ 2 ;     u = 2 ln ⁡ 2

Com isso, teremos:

∫ 0 ln ⁡ 2 e 2 x d x = ∫ 0 2 ln 2 e u 2 ⁡ d u

Ou seja:

∫ 0 ln ⁡ 2 e 2 x d x = 1 2 ∫ 0 2 ln 2 e u ⁡ d u

Essa integral, de novo, é tranquila de resolver. Temos então:

1 2 ∫ 0 2 ln 2 e u ⁡ d u = 1 2 ⋅ e 2 ln ⁡ 2 - e 0

Simplificando a expressão:

1 2 ⋅ e ln ⁡ 2 2 - 1 = 1 2 4 - 1 = 3 2

Com isso, nossa expressão inicial que queríamos resolver, se torna:

5 - e ∫ 0 ln ⁡ 2 e 2 x d x = 3 2 5 - e

Resposta

3 2 ( 5 - e )

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