Inverta a ordem de integração.

Passo 1

Para realizar a inversão, o primeiro passo é descobrir a região de integração e o conjunto B . Assim, visto que x varia de 0 a π / 4 , para cada valor de x fixo em [ 0 ,   π / 4 ] , y varia de s e n x a c o s x . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = x ,   y ∈ R 2   |   0 ≤ x ≤ π / 4 ,   s e n x ≤ y ≤ c o s x

Passo 2

Esboçando esse conjunto obtém-se:

Assim, ao inverter a ordem de integração e reescrevendo as inequações, deixando x em função de y , resulta em:

x = cos - 1 ⁡ y

E

x = s e n - 1 y

Ainda, é conveniente dividir a figura em duas regiões diferentes. Logo, o esboço, com as variáveis reorganizadas, fica da forma:

Passo 3

Portanto, invertendo a ordem de integração temos:

∫ 0 π / 4 ∫ s e n x c o s x f x ,   y d y d x = ∫ 0 2 / 2 ∫ 0 s e n - 1 y f x ,   y d x d y + ∫ 2 / 2 1 ∫ 0 cos - 1 ⁡ y f x ,   y d x d y

Resposta

∫ 0 2 / 2 ∫ 0 s e n - 1 y f x ,   y d x d y + ∫ 2 / 2 1 ∫ 0 cos - 1 ⁡ y f x ,   y d x d y

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados