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Nos Exercícios 1-18, determine d y / d x .

14. y = cos ⁡ x x + x cos ⁡ x

Passo 1

d y d x = d d x cos ⁡ x x + x cos ⁡ x

Usando regra da soma:

d y d x = d d x cos ⁡ x x + d d x x cos ⁡ x

Para não precisarmos usar a regra da divisão:

No primeiro termo podemos escrever: ( x - 1 cos ⁡ x )

E no segundo termo da soma, podemos usar a relação trigonométrica 1 cos ⁡ x = sec ⁡ x e escrever ( x sec ⁡ x )

d y d x = d d x x - 1 cos ⁡ x + d d x ( x sec ⁡ x )

Passo 2

Vamos usar a Regra do produto nos dois termos:

d d x u ⋅ v = v d u d x + u d v d x

Onde, no primeiro termo, u = x - 1 e v = co s ⁡ x

E no segundo termo, u = x e v = s ec ⁡ x

A equação vai ficar grande, então na hora de fazer muito calma pra não esquecer nada

d y d x = ( cos ⁡ x ) d d x x - 1 + x - 1 d d x cos ⁡ x   + sec ⁡ x d d x x + x d d x sec ⁡ x

Passo 3

A derivada de ( cos ⁡ x ) é igual a ( - sen ⁡ x ) e a derivada de sec ⁡ x é ( sec ⁡ x tg ⁡ x ) . Então a equação fica:

d y d x = ( cos ⁡ x ) - x - 2 + x - 1 - s en ⁡ x   + sec ⁡ x 1 + x sec ⁡ x tg ⁡ x

d y d x = - cos ⁡ x x 2 - sen ⁡ x x   + sec ⁡ x + x sec ⁡ x tg ⁡ x

Resposta

d y d x = - cos ⁡ x x 2 - sen ⁡ x x   + sec ⁡ x + x sec ⁡ x tg ⁡ x

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Derive a função: R t = ( t + e t ) ( 3 - t )