Nos Exercícios 1-18, determine dy/dx .

15. y = x^2 \* sen(x) + 2x \* cos(x) - 2 \* sen(x)

Passo 1

d y d x = d d x x 2 sen ⁡ x + 2 x cos ⁡ x - 2 sen ⁡ x

Vamos usar a regra da soma:

d y d x = d d x x 2 sen ⁡ x + d d x 2 x cos ⁡ x + d d x ( - 2 sen ⁡ x )

Agora vamo precisar da regra do produto:

d d x u ⋅ v = v d u d x + u d v d x

Primeira derivada da soma: u = x 2 e v = se n ⁡ x :

d d x x 2 sen ⁡ x

( sen ⁡ x ) d d x x 2 + ( x 2 ) d d x ( sen ⁡ x )

Derivada do ( sen ⁡ x ) é ( cos ⁡ x ) :

( sen ⁡ x ) 2 x + ( x 2 ) ( co s ⁡ x )

A segunda derivada daquela soma:

d d x 2 x cos ⁡ x

cos ⁡ x d d x 2 x + 2 x d d x ( cos ⁡ x )

Derivada do ( cos ⁡ x ) é ( - sen ⁡ x ) :

cos ⁡ x 2 + 2 x ( - s en ⁡ x )

A derivada do terceiro termo da soma é mais tranquila:

d d x ( - 2 sen ⁡ x )

- 2 cos ⁡ x

Passo 2

Juntando novamente na equação essas derivadas ai:

d y d x = ( 2 x sen ⁡ x + x 2 cos ⁡ x ) + 2 cos ⁡ x ( 1 ) + x ( - sen ⁡ x ) - 2 cos ⁡ x

d y d x = 2 x sen ⁡ x + x 2 cos ⁡ x + 2 cos ⁡ x - 2 x sen ⁡ x - 2 cos ⁡ x

d y d x = x 2 cos ⁡ x

Resposta

d y d x = x 2 cos ⁡ x

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