Nos Exercícios 19-22, determine ds/dt .

21. s = (1 + cossec t) / (1 - cossec t)

Passo 1

d s d t = d d t 1 + cossec ⁡ t 1 - cossec ⁡ t

Aqui vamos precisar usar a Regra do quociente:

d d x u v = v d u d x - u d v d x v 2

Onde u = ( 1 + cossec ⁡ t ) e v = 1 - cossec ⁡ t . A função vai ficar:

d s d t = 1 - cossec ⁡ t d d t 1 + cossec ⁡ t - 1 + cossec ⁡ t d d t 1 - cossec ⁡ t 1 - cossec ⁡ t 2

Devemos aplicar a regra da soma para as duas derivadas que temos na expressão. Como a derivada de 1 é 0 , então

d d t 1 + cossec ⁡ t = d d t cossec ⁡ t

e

d d t 1 - cossec ⁡ t = d d t - cossec ⁡ t

Logo nossa função fica:

d s d t = 1 - cossec ⁡ t d d t cossec ⁡ t - 1 + cossec ⁡ t d d t - cossec ⁡ t 1 - cossec ⁡ t 2

d s d t = 1 - cossec ⁡ t d d t cossec ⁡ t + 1 + cossec ⁡ t d d t cossec ⁡ t 1 - cossec ⁡ t 2

Passo 2

A derivada de cossec ⁡ t é igual a - cossec ⁡ t cotg ⁡ t , então:

d s d t = 1 - cossec ⁡ t - cossec ⁡ t cotg ⁡ t + 1 + cossec ⁡ t - cossec ⁡ t cotg ⁡ t 1 - cossec ⁡ t 2

Fazendo as multiplicações:

d s d t = - cossec ⁡ t cotg ⁡ t + cossec 2 ⁡ t cotg ⁡ t - cossec ⁡ t cotg ⁡ t - cossec 2 ⁡ t cotg ⁡ t 1 - cossec ⁡ t 2

d s d t = - 2 cossec ⁡ t cotg ⁡ t 1 - cossec ⁡ t 2

Resposta

d s d t = - 2 cossec ⁡ t cotg ⁡ t 1 - cossec ⁡ t 2

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