Nos Exercícios 1-18, determine dy/dx .

11. y = cotg(x) / (1 + cotg(x))

Passo 1

d y d x = d d x cotg ⁡ x 1 + cotg ⁡ x

Aqui vamos precisar usar a Regra do quociente:

d d x u v = v d u d x - u d v d x v 2

Onde u = cotg ⁡ x e v = 1 + cotg ⁡ x . A função vai ficar:

d y d x = 1 + cotg ⁡ x d d x cotg ⁡ x - cotg ⁡ x d d x 1 + cotg ⁡ x 1 + cotg ⁡ x 2

Passo 2

A derivada de ( cotg ⁡ x ) é igual a ( - cossec 2 ⁡ x ) , então a equação vai ficar:

d y d x = 1 + cotg ⁡ x ( - cossec 2 ⁡ x ) - cotg ⁡ x ( - cossec 2 ⁡ x ) 1 + cotg ⁡ x 2

Observe que na derivada d d x 1 + cotg ⁡ x , a gente usou a regra da soma. Como a derivada de uma constante é igual a zero d d x 1 + cotg ⁡ x   ficou igual a d d x cotg ⁡ x , que é igual a ( - cossec 2 ⁡ x ) .

Passo 3

Colocando ( - cossec 2 ⁡ x ) em evidência:

d y d x = 1 + cotg ⁡ x - cotg ⁡ x ( - cossec 2 ⁡ x ) 1 + cotg ⁡ x 2

d y d x = - cossec 2 ⁡ x 1 + cotg ⁡ x 2

Resposta

d y d x = - cossec 2 ⁡ x 1 + cotg ⁡ x 2

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