Nos Exercícios 1-18, determine dy/dx .

12. y = cos(x) / (1 + sen(x))

Passo 1

d y d x = d d x cos ⁡ x 1 + sen ⁡ x

Regra do quociente:

d d x u v = v d u d x - u d v d x v 2

Onde u = cos ⁡ x e v = 1 + sen ⁡ x . A função vai ficar:

d y d x = 1 + sen ⁡ x d d x cos ⁡ x - cos ⁡ x d d x 1 + sen ⁡ x 1 + sen ⁡ x 2

Passo 2

A derivada de ( cos ⁡ x ) é igual a ( - sen ⁡ x ) .

E a derivada de 1 + sen ⁡ x , usando a regra da soma, é igual a ( 0 + cos ⁡ x )

Então a função vai ficar:

d y d x = 1 + sen ⁡ x ( - sen ⁡ x ) - cos ⁡ x ( cos ⁡ x ) 1 + sen ⁡ x 2

d y d x = - sen ⁡ x - sen 2 ⁡ x - cos 2 ⁡ x 1 + sen ⁡ x 2

Passo 3

Como sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 , podemos escrever:

d y d x = - sen ⁡ x - ( sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x ) 1 + sen ⁡ x 2

d y d x = - sen ⁡ x - 1 1 + sen ⁡ x 2

d y d x = - ( 1 + sen ⁡ x ) 1 + sen ⁡ x 2

Corta em cima e em baixo:

d y d x = - 1 1 + sen ⁡ x

Resposta

d y d x = - 1 1 + sen ⁡ x

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