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Nos exercícios de 1 a 12, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se houver algum, e ache os valores de x nos quais os extremos absolutos ocorrem. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

Passo 1

Seja f x = 9 - x 2 . Vamos calcular f ' x :

f ' x = 1 2 . - 2 x 9 - x 2 = - x 9 - x 2

Como a ≥ 0   ∀ a ∈ R , então f x é crescente quando x < 0 e decrescente quando x > 0 .

Pelo mesmo motivo, quando x = ± 3 ,     f x = 0 ,   logo 0 é valor mínimo absoluto de f . Além disso, f ' x = 0 quando x = 0 , o que torna esse ponto crítico.

Passo 2

Calculando f ' ' x utilizando regra da derivada da divisão, teremos:

f ' ' x = - 1 9 - x 2 - - x . - x 9 - x 2 9 - x ² = - 9 - x 2 - x 2 9 - x 2 3 = - 9 9 - x 2 3

Logo, teremos que f ' ' x < 0 , ou seja, a função é sempre côncava para baixo. Logo x = 0 é um ponto de máximo absoluto e f 0 = 3   é   valor máximo absoluto de f .

Passo 3

Como já calculamos o comportamento da função, basta calcularmos os pontos de interseção da função com os eixos. Para isso, teremos:

  1. x = 0 → y = 3
  2. f x = 0 → x = ± 3

Passo 4

Passo 5

Passo 6

Passo 7

Passo 8

Com todas essas informações extraídas, teremos:

Resposta

Os valores absolutos da função são 0 (mínimo) e 3 (máximo). O mínimo acontece nos pontos x = ± 3 e o máximo acontece no ponto x = 0 . O esboço da função é:

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